(a) determine o valor de q com base na normalização das probabilidades;
(b) escreva a distribuição de probabilidades de x, P(x), em termos de deltas de Dirac;
© calcule o valor médio e o desvio padrão de x;
(d) teste os resultados do item anterior para o caso particular de um dado honesto.

Passo 1

Beleza, vamos ter um “dado” que vale 1,2,3,4,5,6 mas não é honesto: a probabilidade de sair o número P(i)=i,q, i=1,2,dots,6 é proporcional a . Ou seja,
Conteúdo: probabilidade discreta, normalização, média, variância e desvio‐padrão, e representação com delta de Dirac.
O que vamos precisar:
  • Normalização de uma distribuição (somar tudo e igualar a 1).
  • Definição de valor médio .
  • Definição de variância .
  • Saber que a delta de Dirac serve para escrever distribuições pontuais.

Passo 2

Normalização: a soma de todas as probabilidades tem que dar 1, então
sumi=1^6 P(i)=sumi=1^6 i,q =l(1+2+3+4+5+6r),q =21,q stackrel!=1 ;Longrightarrow; q=121

Passo 3

Distribuição em termos de delta de Dirac:
P(x)=sumi=1^6 P(i),de

Passo 4

Cálculo do valor médio e do desvio‐padrão
  1. Primeiro a média
lang<= xrang<= =sumi=1^6 i,P(i) =sumi=1^6 icdoti21 =121sumi=1^6 i^2 =121,(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) =9121 =133approx4,333
  1. Agora lang<= x^2rang<= =sumi=1^6 i^2,P(i) =121sumi=1^6 i^3 =121,(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3) =44121 =21
sigma^2 =lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =21-l(tfrac133r)^2 =21-tfrac1699 =tfrac189-1699 =tfrac209,
  1. Variância e desvio‐padrão
sigma=raizsigma^2 =2raiz53approx1,49

Passo 5

Teste para um dado honesto (todas as faces com prob. ):
  • em vez de .
  • Média .
  • .
  • Variância .
  • .

Resposta

(a)
(b)
© ,
(d) Para dado honesto: , .

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