lang<= Szrang<==13 e lang<= Sz^2rang<==23
Encontre a distribuição P(Sz).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um operador lang<= Szrang<= = 13 e lang<= Sz^2rang<= = 23 (imaginemos um spin-1) tem
e a gente precisa descobrir , ou seja, as probabilidades de .
Conteúdo: probabilidade e valor esperado em mecânica quântica. Vamos usar as definições de valor esperado e um sistema de equações lineares.

Passo 2

Definimos
P+1 = P(Sz=+1), P0 = P(Sz=0), P-1 = P(Sz=-1)
Como elas são probabilidades, já temos:
(1) Normalização:
P+1 + P0 + P-1 = 1
(2) Valor esperado:
lang<= Szrang<= = (+1),P+1 + 0cdot P0 +(-1),P-1 = P+1-P-1 = tfrac13
(3) Valor esperado ao quadrado:
lang<= Sz^2rang<= = (+1)^2P+1 + 0^2P0 +(-1)^2P-1 = P+1+P-1 = tfrac23

Passo 3

Agora resolvemos o sistema:
P+1 + P0 + P-1 = 1, P+1 - P-1 = tfrac13, P+1 + P-1 = tfrac23
Das últimas duas equações: somando
2P+1 = tfrac13 + tfrac23 = 1 ;;Rightarrow;; P+1 = tfrac12
E então
P-1 = tfrac23 - P+1 = tfrac23 - tfrac12 = tfrac4-36 = tfrac16
Por fim, da normalização
P0 = 1 - l(P+1+P-1r) = 1 - l(tfrac12 + tfrac16r) = 1 - tfrac23 = tfrac13

Passo 4

A gente conferiu:
P+1+P0+P-1 = tfrac12 + tfrac13 + tfrac16 = 1,
P+1-P-1 = tfrac12 - tfrac16 = tfrac13,
P+1+P-1 = tfrac12 + tfrac16 = tfrac23
Tudo bate certinho.

Resposta

P(Sz=+1) = tfrac12, P(Sz=0) = tfrac13, P(Sz=-1) = tfrac16

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