que depende do momento
e da altura
da partícula, sendo
sua massa. Os valores de
estão restritos a
e as componentes do momento podem ter qualquer valor real. (Você aprenderá em aulas futuras que
está relacionado à temperatura.)
(a) Determine a constante de normalização
.
(b) Calcule o valor esperado da altura,
.
© Calcule a distribuição de probabilidades
da energia associada a uma só partícula,
.
(a) Determine a constante de normalização
(b) Calcule o valor esperado da altura,
© Calcule a distribuição de probabilidades
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a densidade de probabilidade para uma partícula no campo gravitacional é
com
(a) achar a constante de normalização
(b) calcular
© obter a distribuição de energia
O conteúdo que vamos usar é Estatística Canônica: integrais gaussianas em
Passo 2
Normalização: a condição é
Escrevendo isso:
– A integral sobre momento é a clássica gaussiana em 3D:
– A integral sobre
Juntando tudo:
Passo 3
Agora
é
Como a parte de
$$\langle z\rangle
=\frac{\displaystyle\int_0^\infty z,e^{-\beta mgz}dz}
{\displaystyle\int_0^\infty e^{-\beta mgz}dz}
{\displaystyle\int_0^\infty e^{-\beta mgz}dz}
=\frac{1}{\beta mg},$$
pois e
.
pois
Passo 4
Para achar
usamos
1) A integral em
2) Integrando em
3) Juntando o
Logo
Resposta
(a)
.
(b) .
© $P(E)=\dfrac{4}{3\sqrt\pi},\beta{5/2},E{3/2},e^{-\beta E}\quad(E\ge0),. $
(b)
© $P(E)=\dfrac{4}{3\sqrt\pi},\beta{5/2},E{3/2},e^{-\beta E}\quad(E\ge0),. $