P(p, z)=X e^-beta(|p|^22 m+m g z),
que depende do momento p=(px, py, pz) e da altura z da partícula, sendo m sua massa. Os valores de z estão restritos a 0 <= z e as componentes do momento podem ter qualquer valor real. (Você aprenderá em aulas futuras que beta está relacionado à temperatura.)
(a) Determine a constante de normalização X.
(b) Calcule o valor esperado da altura, lang<= zrang<=.
© Calcule a distribuição de probabilidades P(E) da energia associada a uma só partícula, E=|p|^22 m+m g z.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a densidade de probabilidade para uma partícula no campo gravitacional é
P(vec p,z)=Xexpl[-betal(|vec p|^22m+mgzr)r],
com 0<= z e vec pin R^3. A gente quer:
(a) achar a constante de normalização X,
(b) calcular lang<= zrang<=,
© obter a distribuição de energia P(E) com E=|vec p|^22m+mgz.
O conteúdo que vamos usar é Estatística Canônica: integrais gaussianas em p e exponencial em z, além de contar estados (uso de delta de Dirac) para achar P(E).

Passo 2

Normalização: a condição é
integral d^3pintegral0^infty dz;P(vec p,z)=1
Escrevendo isso:
1=Xintegral d^3p,e^-betap^22m;integral0^infty dz,e^-beta mgz
– A integral sobre momento é a clássica gaussiana em 3D:
integral d^3p,e^-betap^22m=l(2pi mbetar)^3/2
– A integral sobre z é uma exponencial simples:
integral0^infty dz,e^-beta mgz=1beta mg
Juntando tudo:
1=X;l(2pi mbetar)^3/2;1beta mg Longrightarrow X=beta,mg;l(beta2pi mr)^3/2

Passo 3

Agora lang<= zrang<= é
lang<= zrang<==integral d^3pintegral0^infty dz;z,P(vec p,z)
Como a parte de p separa e cancela com a normalização, sobra só a média de z na exponencial:
$$\langle z\rangle
=\frac{\displaystyle\int_0^\infty z,e^{-\beta mgz}dz}
{\displaystyle\int_0^\infty e^{-\beta mgz}dz}
=\frac{1}{\beta mg},$$
pois lang<= zrang<= =integral0^infty z,e^-beta mgzdz integral0^infty e^-beta mgzdz =1beta mg,, e integral0^infty z e^-azdz=1/a^2.

Passo 4

Para achar P(E) usamos
P(E)=integral d^3pintegral0^infty dz;P(vec p,z),de
1) A integral em p com de dá um fator proptoraizE^*, onde E^*=E-mgz.
2) Integrando em z de 0 até E/(mg) e fazendo a mudança u=mgz, chega–se a um resultado da forma E^3/2e^-beta E.
3) Juntando o X e as constantes, o fator numérico final é
43raizpi,beta^5/2,
Logo
P(E)=43raizpi,beta^5/2,E^3/2,e^-beta E, E>=0

Resposta

(a) X=beta,mg;l(tfracbeta2pi mr)^3/2.
(b) lang<= zrang<==dfrac1beta,m,g.
© $P(E)=\dfrac{4}{3\sqrt\pi},\beta{5/2},E{3/2},e^{-\beta E}\quad(E\ge0),. $

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