Determine o valor de r in R para os quais a y=e^r x é solução das seguintes EDO lineares:
y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2y = 0
e pede para encontrarmos rinR tal que
y = e^r x
seja solução. O método é derivar essa função, substituir na EDO e obter a equação característica em r.

Passo 2

Derivando y = e^r x em relação a x, temos
y' = r,e^r x

Passo 3

Substituindo y e y' na equação
y' + 2y = 0
fica
r,e^r x + 2,e^r x = 0
o que simplifica para
(r + 2),e^r x = 0

Passo 4

Como e^r xneq 0 para todo x, impõe-se
r + 2 = 0
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r = -2

Resposta

r = -2

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