Determine o valor de r in R para os quais a y=e^r x é solução das seguintes EDO lineares:
y^prime prime+y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de rinR tais que
y=e^r x
seja solução da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = 0
O conteúdo é o método da equação característica: assumimos uma solução exponencial e determinamos r.

Passo 2

Partindo de
y = e^r x,
temos
y' = r,e^r x,
y'' = r^2e^r x
Substituindo na EDO resulta em
r^2e^r x + r,e^r x - 6,e^r x = 0
e como e^r xneq0 podemos dividir por ele.

Passo 3

A divisão por e^r x leva à equação característica em r:
r^2 + r - 6 = 0

Passo 4

Para resolver
r^2 + r - 6 = 0
calculamos o discriminante:
De<a = 1^2 - 4cdot1cdot(-6) = 25
Então
r = -1 pm raiz252 = -1 pm 52,
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r1 = 2, r2 = -3

Resposta

r = 2 ou r = -3.

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