Q3. Um resistor com resistência R e uma fonte de tensão V0 são conectados em série com um capacitor de capacitância C. A equação que descreve a tensão V(t) no capacitor em função do tempo t é dada por:
d Vd t+1R C V=V0R C
Onde V(t) é a tensão no capacitor no tempo t, R é a resistência, C é a capacitância, e V0 é a tensão da fonte. Sabendo que V(0)=0, determine a tensão V(t) no capacitor após um tempo t.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de 1º ordem para a tensão V(t) no capacitor:
dVdt + 1RC,V = V0RC,
com condição inicial V(0)=0.
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(integral 1RC,dtr) = exp!l(tfractRCr)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t), obtendo
exp!l(tfractRCr)dVdt + 1RCexp!l(tfractRCr)V = V0RCexp!l(tfractRCr)
O lado esquerdo é justamente a derivada de exp(t/RC),V, isto é,
ddtl[exp!l(tfractRCr)Vr] = V0RCexp!l(tfractRCr)

Passo 4

Integramos ambos os lados de 0 a t:
exp!l(tfractRCr)V(t) - exp(0),V(0) = V0RCintegral0^texp!l(tfractauRCr),dtau
Sabendo que V(0)=0 e exp(0)=1, fica
exp!l(tfractRCr)V(t) = V0RC,l[RC,exp!l(tfractauRCr)r]0^t = V0l(exp!l(tfractRCr)-1r)

Passo 5

Isolando V(t), obtemos
V(t) = V0l(1 - exp!l(-tfractRCr)r)

Resposta

V(t)=V0l(1 - e^-t/(RC)r)

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