Encontre a solução dos problemas de valor inicial a seguir.
y^prime+y=x, y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial de primeira ordem e linear:
y' + y = x,
com a condição y(0)=0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^xy' + e^xy = x,e^x

Passo 3

O lado esquerdo é a derivada do produto l(e^xyr)'. Logo,
l(e^xyr)' = x,e^x
Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(e^xyr)' ,dx = integral x,e^x,dx
Para integral x,e^x,dx usamos integração por partes com u=x, dv=e^xdx, resultando em
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C

Passo 4

Temos então
e^xy = x,e^x - e^x + C,
de onde
y = x - 1 + C,e^-x

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=0:
0 = 0 - 1 + C ;longrightarrow; C=1
Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução particular.

Resposta

y(x) = x - 1 + e^-x

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