Determine o valor RMS de uma corrente com amplitude 5 A .

Passo 1

O enunciado dá a amplitude (valor de pico) da corrente igual a 5\\ \text{A} e pede o valor RMS dessa corrente.
Informação dada:
  • Amplitude (pico) da corrente: I_{m}=5\\ \text{A}.
O que é pedido:
  • Calcular o valor eficaz (RMS) dessa corrente: I_{\text{rms}}.

Passo 2

O que é o valor RMS e por que ele importa.
RMS (root mean square, ou valor eficaz) de uma corrente periódica é o valor que produziria a mesma potência média numa resistência que a corrente considerada. Matematicamente, para uma corrente i(t) periódica de período T,
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i(t)^{2}\,dt}.
Aqui:
  • i(t) é a função temporal da corrente (em ampères),
  • T é o período da função (em segundos),
  • I_{\text{rms}} tem unidade de ampère e representa a “valor médio quadrático” da corrente ao longo de um período.

Passo 3

Modelo da corrente senoidal e identificação das variáveis.
Para uma corrente senoidal típica a amplitude dada I_{m} corresponde ao pico da função
i(t)=I_{m}\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • I_{m} é a amplitude (pico) da corrente (aqui I_{m}=5\\ \text{A}),
  • \omega é a pulsação angular,
  • \varphi é a fase inicial.
    Como o RMS é uma propriedade independente da fase, \varphi não afetará o resultado final.

Passo 4

Cálculo do RMS usando a definição. Substituindo i(t) na fórmula do RMS:
I_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} I_{m}^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt} =\;I_{m}\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt}.
Usar a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\omega t+\varphi,
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{1-\cos(2\omega t+2\varphi)}{2}\,dt =\frac{1}{2}-\frac{1}{2T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+2\varphi)\,dt.
O termo com cosseno tem média zero ao longo de um período inteiro, ou seja,
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t+2\varphi)\,dt=0.
Portanto
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t+\varphi)\,dt=\frac{1}{2},
e assim
I_{\text{rms}}=I_{m}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Substituir o valor numérico de I_{m}. Como I_{m}=5\\ \text{A},
I_{\text{rms}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\\ \text{A}\approx 3,5355\\ \text{A}.
Interpretação rápida: esse é o valor que produz a mesma potência média em uma resistência que uma corrente contínua de 3,5355\\ \text{A}.

Resposta

\displaystyle I_{\text{rms}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\\ \text{A}\approx 3,5355\\ \text{A}

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