Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^+infty t^2 e^-s t d t

Passo 1

Neste exercício queremos estudar a convergência da integral imprópria
integral0^+infty t^2e^-s t,dt
O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias, para isso precisamos examinar o comportamento do integrando nos extremos do intervalo, isto é, em tto0^+ e em tto+infty.

Passo 2

Análise em tto0^+: perto de zero temos
t^2e^-s tsim t^2,
e a integral integral0^epsilont^2,dt converge desde que o expoente 2>-1, o que de fato ocorre. Logo não há restrição sobre s vinda do limite inferior.

Passo 3

Análise em tto+infty: para grandes t o fator exponencial domina o polinômio. Se s>0, e^-s t decai exponencialmente e vence o crescimento de t^2, garantindo a convergência de
integralA^+inftyt^2e^-s t,dt
Se s<=0, e^-s t não decai (ou cresce) e a integral diverge.

Resposta

A integral integral0^+inftyt^2e^-s t,dt converge se, e somente se,
s>0

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