Determine o valor de
tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
Neste exercício queremos estudar a convergência da integral imprópria
O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias, para isso precisamos examinar o comportamento do integrando nos extremos do intervalo, isto é, em
e em
.
Passo 2
Análise em
: perto de zero temos
e a integral
converge desde que o expoente
, o que de fato ocorre. Logo não há restrição sobre
vinda do limite inferior.
Passo 3
Análise em
: para grandes
o fator exponencial domina o polinômio. Se
,
decai exponencialmente e vence o crescimento de
, garantindo a convergência de
Se
,
não decai (ou cresce) e a integral diverge.
Resposta
A integral
converge se, e somente se,