Identifique se as soluções dadas atendem as seguintes equações diferenciais e se a combinação linear delas pode ser empregada para formar a solução geral. Obs: Quando a divisão y1 / y2 não gerar uma constante, y1 e y2 são linearmente independentes.).
y^prime ^prime+4 y=0 ; y1(t)=cos (2 t), y2(t)=sen(2 t)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 0
e propõe as funções y1(t)=cos(2t) e y2(t)=sin(2t). Vamos verificar se cada uma satisfaz a equação e checar se são linearmente independentes para então formar a solução geral por combinação linear.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y1(t)=cos(2t):
y1' = -2sin(2t), y1'' = -4cos(2t)
Substituindo em y''+4y:
y1'' + 4y1 = -4cos(2t) + 4cos(2t) = 0,
logo y1 satisfaz a equação.

Passo 3

De modo análogo, para y2(t)=sin(2t) temos
y2' = 2cos(2t), y2'' = -4sin(2t),
e assim
y2'' + 4y2 = -4sin(2t) + 4sin(2t) = 0,
mostrando que y2 também é solução.

Passo 4

Para testar independência linear, observamos a razão
y1(t)y2(t) = cos(2t)sin(2t) = cot(2t),
que não é constante. Portanto y1 e y2 são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções da equação.

Resposta

As funções dadas satisfazem a equação diferencial, são linearmente independentes e a solução geral é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t),
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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