Identifique se as soluções dadas atendem as seguintes equações diferenciais e se a combinação linear delas pode ser empregada para formar a solução geral. Obs: Quando a divisão
não gerar uma constante,
são linearmente independentes.).
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e propõe as funções
e
. Vamos verificar se cada uma satisfaz a equação e checar se são linearmente independentes para então formar a solução geral por combinação linear.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo em
:
logo
satisfaz a equação.
Passo 3
De modo análogo, para
temos
e assim
mostrando que
também é solução.
Passo 4
Para testar independência linear, observamos a razão
que não é constante. Portanto
e
são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções da equação.
Resposta
As funções dadas satisfazem a equação diferencial, são linearmente independentes e a solução geral é
com constantes arbitrárias
e
.