Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \theta)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde é um parâmetro real.
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o teste de convergência absoluta (comparação com ) e critério de Weierstrass (M--test) para convergência uniforme.
Passo 2
Estudamos primeiro a convergência absoluta. Como
temos
sumn=1^infty|sen(ntheta)n^2|;<=;sumn=1^infty1n^2
E sabemos que
sumn=1^infty1n^2<infty
Logo a série original converge absolutamente para todo theta.
Passo 3
Pela convergência absoluta, a série também converge (simplesmente) para todo theta.
Além disso, como o majorante tfrac1n^2 independe de theta e sum1/n^2 converge, pelo M--test de Weierstrass a série converge uniformemente em thetainR.
Resposta
A série sumn=1^inftysen(ntheta)n^2
converge absolutamente (e, portanto, converge) para todo thetainR, e a convergência é uniforme em theta.