Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \theta)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftysin(ntheta)n^2,
onde theta é um parâmetro real.
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o teste de convergência absoluta (comparação com 1/n^2) e critério de Weierstrass (M--test) para convergência uniforme.

Passo 2

Estudamos primeiro a convergência absoluta. Como
l|sen(ntheta)r|<=1,
temos
sumn=1^infty|sen(ntheta)n^2|;<=;sumn=1^infty1n^2
E sabemos que
sumn=1^infty1n^2<infty
Logo a série original converge absolutamente para todo theta.

Passo 3

Pela convergência absoluta, a série também converge (simplesmente) para todo theta.
Além disso, como o majorante tfrac1n^2 independe de theta e sum1/n^2 converge, pelo M--test de Weierstrass a série converge uniformemente em thetainR.

Resposta

A série
sumn=1^inftysen(ntheta)n^2
converge absolutamente (e, portanto, converge) para todo thetainR, e a convergência é uniforme em theta.

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