Questão 4 (2 pontos) -
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pela força F(x, y)=(e^x-3 y) i+(e^y+6 x) j sobre uma partícula que se move no sentido anti-horário ao redor do caminho fechado C: r=2 cos theta

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
F(x,y)=l(e^x-3yr),i+l(e^y+6xr),j
e a curva fechada Ccolon r=2costheta percorrida no sentido anti-horário.
Queremos o trabalho
W=ointCFcdot dr
usando o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=e^x-3y e Q(x,y)=e^y+6x. Calculamos
partial Qpartial x=6, partial Ppartial y=-3,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =6-(-3)=9

Passo 3

A região D é o interior do círculo dado por r=2costheta. Em coordenadas polares,
D=(r,theta)mid -tfracpi2<=theta<=tfracpi2,;0<= r<=2costheta
Então
integral duplaD9,dA =9integral-pi/2^pi/2!integral0^2costhetar,dr,dtheta =9integral-pi/2^pi/2(2costheta)^22,dtheta =9integral-pi/2^pi/22cos^2theta,dtheta
Como cos^2theta=tfrac1+cos2theta2,
integral-pi/2^pi/22cos^2theta,dtheta =integral-pi/2^pi/2(1+cos2theta),dtheta =l[theta+tfracsin2theta2r]-pi/2^pi/2 =pi
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integral duplaD9,dA=9pi

Resposta

9pi

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