Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^pi2 1-cos (x)x^s d x

Passo 1

O enunciado pede para descobrir para quais valores de s a integral imprópria
integral0^pi2 1-cos(x)x^s;dx
converge. O único ponto de atenção é x=0, pois em x=pi/2 o integrando é contínuo. Vamos estudar o comportamento em 0 usando a expansão de Taylor de cos(x).

Passo 2

Para x próximo de zero, a expansão de Taylor de cos(x) é
cos(x) = 1 - x^22 + O(x^4),
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1 - cos(x) = x^22 + O(x^4)

Passo 3

Substituindo na integral, para xto0 temos
1-cos(x)x^s sim tfracx^22x^s = 12,x^2-s
Assim, perto de zero a integral se comporta como
integral0 x^2-s;dx

Passo 4

A integral integral0 x^alpha,dx converge se, e somente se, alpha>-1. Aqui alpha = 2 - s, então precisamos de
2 - s > -1 Longrightarrow s < 3

Passo 5

Não há outra descontinuidade no intervalo l[0,tfracpi2r], pois em x=pi/2 o integrando é finito para todo s. Portanto a condição encontrada é também suficiente.

Resposta

A integral converge exatamente para
s < 3

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