Determine o valor de
tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para descobrir para quais valores de
a integral imprópria
converge. O único ponto de atenção é
, pois em
o integrando é contínuo. Vamos estudar o comportamento em
usando a expansão de Taylor de
.
Passo 2
Para
próximo de zero, a expansão de Taylor de
é
logo
Passo 3
Substituindo na integral, para
temos
Assim, perto de zero a integral se comporta como
Passo 4
A integral
converge se, e somente se,
. Aqui
, então precisamos de
Passo 5
Não há outra descontinuidade no intervalo
, pois em
o integrando é finito para todo
. Portanto a condição encontrada é também suficiente.
Resposta
A integral converge exatamente para