Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^+infty e^-s t cosh (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de s que tornam convergente a integral imprópria
integral0^+infty e^-s tcosh(t),dt
Aqui vamos usar a definição de cosh(t) em termos de exponenciais e o teste de convergência de integral0^inftye^alpha t,dt.

Passo 2

Usando
cosh(t)=e^t+e^-t2,
temos
integral0^inftye^-stcosh(t),dt =12integral0^inftyl(e^(1-s)t+e^-(1+s)tr),dt

Passo 3

Analisamos
integral0^inftye^(1-s)t,dt
Esse integral converge se e somente se o expoente 1-s for negativo, pois integral0^inftye^alpha t,dt só converge para alpha<0. Logo
1-s<0 Longrightarrow s>1

Passo 4

Agora a segunda parcela
integral0^inftye^-(1+s)t,dt
Aqui o expoente é -(1+s). Para convergir precisamos de 1+s>0, de modo que -(1+s)<0. Assim
1+s>0 Longrightarrow s>-1

Passo 5

Para a integral total ser convergente ambas as condições devem valer simultaneamente. A interseção de
s>1 e s>-1
é simplesmente
s>1

Resposta

A integral converge para s>1.

Exercícios relacionados