Determine o valor de
tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
que tornam convergente a integral imprópria
Aqui vamos usar a definição de
em termos de exponenciais e o teste de convergência de
.
Passo 2
Usando
temos
Passo 3
Analisamos
Esse integral converge se e somente se o expoente
for negativo, pois
só converge para
. Logo
Passo 4
Agora a segunda parcela
Aqui o expoente é
. Para convergir precisamos de
, de modo que
. Assim
Passo 5
Para a integral total ser convergente ambas as condições devem valer simultaneamente. A interseção de
é simplesmente
Resposta
A integral converge para
.