Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}

Passo 1

Temos a série
sumn=1^infty n^2n!
Queremos estudar sua convergência. Como há fatorial no denominador, o Teste da Razão costuma ser eficiente. Definimos
an = n^2n!
e vamos calcular
L = limntoinfty an+1an

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2(n+1),n!cdotn!n^2 = (n+1)^2(n+1),n^2 = n+1n^2 = 1n + 1n^2
Portanto
L = limntoinftyl(1n + 1n^2r) = 0

Passo 3

O Teste da Razão diz que, se L<1, a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, logo a série
sumn=1^infty n^2n!
converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série converge absolutamente, logo é convergente.

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