Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}
Passo 1
Temos a série
Queremos estudar sua convergência. Como há fatorial no denominador, o Teste da Razão costuma ser eficiente. Definimos
e vamos calcular
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Portanto
Passo 3
O Teste da Razão diz que, se
, a série converge absolutamente. Aqui
, logo a série
converge absolutamente (e, portanto, converge).
Resposta
A série converge absolutamente, logo é convergente.