Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^pi d x(sen(x))^s

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de s a integral impropria
integral0^pi dx(sin(x))^s
é convergente. Aqui vamos usar o teste-p para integrais do tipo
integral0^a x^-p,dx,
que converge se e somente se p<1.

Passo 2

Identificamos que as únicas singularidades ocorrem em x=0 e em x=pi, pois sin(x)=0 nesses pontos. Vamos estudar cada uma separadamente.

Passo 3

Perto de x=0 vale a aproximação sin(x)approx x. Assim,
1(sin(x))^sapprox 1x^s,
e a integral
integral0^varepsilon x^-s,dx
converge exatamente quando -s>-1, ou seja, quando
s<1

Passo 4

Perto de x=pi fazemos t=pi-x, de modo que para tto0 temos sin(x)=sin(pi-t)approx t. Novamente o integrando se comporta como t^-s e a mesma condição
s<1
é exigida para que
integral0^de<a t^-s,dt
converja.

Resposta

A integral
integral0^pi dx(sin(x))^s
é convergente se, e somente se,
s<1

Exercícios relacionados