Determine o valor de
tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a integral impropria
é convergente. Aqui vamos usar o teste-p para integrais do tipo
que converge se e somente se
.
Passo 2
Identificamos que as únicas singularidades ocorrem em
e em
, pois
nesses pontos. Vamos estudar cada uma separadamente.
Passo 3
Perto de
vale a aproximação
. Assim,
e a integral
converge exatamente quando
, ou seja, quando
Passo 4
Perto de
fazemos
, de modo que para
temos
. Novamente o integrando se comporta como
e a mesma condição
é exigida para que
converja.
Resposta
A integral
é convergente se, e somente se,