Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries (ou critério de Cauchy), que compara a série com a integral imprópria de uma função
positiva, contínua e decrescente. Vamos definir
e aplicar o teste.
Passo 2
Verificamos que, para
,
-
. -
é contínua em . -
é decrescente pois sua derivada satisfaz
Assim, podemos comparar a série com a integral imprópria de
.
Passo 3
Calculamos a integral
Fazendo a substituição
, temos
, e os limites
,
. Logo
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.