Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty1nln n
O conteúdo principal aqui é o teste da integral para séries (ou critério de Cauchy), que compara a série com a integral imprópria de uma função f(x) positiva, contínua e decrescente. Vamos definir f(x)=1/(xln x) e aplicar o teste.

Passo 2

Verificamos que, para x>=2,
  1. f(x)=dfrac1xln x>0.
  2. f é contínua em [2,infty).
  3. f é decrescente pois sua derivada satisfaz
f'(x) =ddxl(x^-1(ln x)^-1r) =-1+ln xx^2(ln x)^2<0para x>=2
Assim, podemos comparar a série com a integral imprópria de f(x).

Passo 3

Calculamos a integral
integral2^inftydxxln x
Fazendo a substituição t=ln x, temos dt=dx/x, e os limites x=2mapsto t=ln2, xtoinftymapsto ttoinfty. Logo
integral2^inftydxxln x =integralln2^inftydtt =limTtoinftyl[ln tr]t=ln2^t=T =limTtoinftyl(ln T-ln(ln2)r) =+infty
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série sumn=2^infty1nln n diverge.

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