Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo transverso e conjugado. Determine os vértices, focos, as extremidades dos eixos conjugados e equações das assíntotas das hipérboles. Faço o gráfico da hipérbole.
3 x^2-y^2=3

Passo 1

O enunciado dá a equação
3x^2 - y^2 = 3
e pede as características de uma hipérbole cujos focos estão no eixo das abscissas: distância focal, medidas dos eixos transverso e conjugado, vértices, focos, extremidades do eixo conjugado, equações das assíntotas e o seu gráfico. Vamos usar a forma canônica da hipérbole centrada na origem.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de 3x^2 - y^2 = 3 por 3, obtemos a forma
x^21 ;-;y^23 ;=;1
Aqui é claro que
a^2=1, b^2=3,
ou seja,
a=1, b=raiz3

Passo 3

Para hipérboles com eixo transverso no eixo x vale
c^2=a^2+b^2=1+3=4
logo
c=2
A distância focal (distância entre os dois focos) é
2c=4
A medida do eixo transverso (comprimento total entre os vértices) é
2a=2,
e a do eixo conjugado é
2b=2raiz3

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a do centro (0,0) sobre o eixo x, portanto
V1=(1,0), V2=(-1,0)
Os focos estão a pm c no eixo x, ou seja
F1=(2,0), F2=(-2,0)
As extremidades do eixo conjugado ficam a pm b no eixo y:
C1=(0,raiz3), C2=(0,-raiz3)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole tfracx^2a^2-tfracy^2b^2=1 são dadas por
y=pmba,x
Aqui b/a=raiz3/1=raiz3, então
y=raiz3,x e y=-raiz3,x

Passo 6

Para o gráfico, em um plano cartesiano marque o centro em (0,0), os vértices em (pm 1,0) e trace as retas-assíntotas y=pm raiz3 x. Os ramos da hipérbole abrem para a direita e para a esquerda, passando por (1,0) e (-1,0) e aproximando-se das assíntotas quando |x| cresce.

Resposta

Distância focal 2c=4.
Eixo transverso 2a=2.
Eixo conjugado 2b=2raiz3.
Vértices (pm 1,0).
Focos (pm 2,0).
Extremidades do eixo conjugado (0,pm raiz3).
Assíntotas y=pm raiz3 , x.
Gráfico: ramos abertos ao longo do eixo x, aproximando-se das retas y=pm raiz3 x.

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