Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo transverso e conjugado. Determine os vértices, focos, as extremidades dos eixos conjugados e equações das assíntotas das hipérboles. Faço o gráfico da hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede as características de uma hipérbole cujos focos estão no eixo das abscissas: distância focal, medidas dos eixos transverso e conjugado, vértices, focos, extremidades do eixo conjugado, equações das assíntotas e o seu gráfico. Vamos usar a forma canônica da hipérbole centrada na origem.
Passo 2
Dividindo ambos os lados de
por
, obtemos a forma
Aqui é claro que
ou seja,
Passo 3
Para hipérboles com eixo transverso no eixo
vale
logo
A distância focal (distância entre os dois focos) é
A medida do eixo transverso (comprimento total entre os vértices) é
e a do eixo conjugado é
Passo 4
Os vértices estão a uma distância
do centro
sobre o eixo
, portanto
Os focos estão a
no eixo
, ou seja
As extremidades do eixo conjugado ficam a
no eixo
:
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole
são dadas por
Aqui
, então
Passo 6
Para o gráfico, em um plano cartesiano marque o centro em
, os vértices em
e trace as retas-assíntotas
. Os ramos da hipérbole abrem para a direita e para a esquerda, passando por
e
e aproximando-se das assíntotas quando
cresce.
Resposta
Distância focal
.
Eixo transverso .
Eixo conjugado .
Vértices .
Focos .
Extremidades do eixo conjugado .
Assíntotas .
Gráfico: ramos abertos ao longo do eixo , aproximando-se das retas
.
Eixo transverso
Eixo conjugado
Vértices
Focos
Extremidades do eixo conjugado
Assíntotas
Gráfico: ramos abertos ao longo do eixo