Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a integral imprópria
seja convergente. Este problema envolve o estudo de comportamento da integral nos extremos do intervalo de integração, ou seja, em
e em
.
Passo 2
Analisando o comportamento em
: quando
é pequeno temos
, então o integrando se comporta como
. Como
é finito, não há problema de divergência em
para nenhum valor de
.
Passo 3
Analisando o comportamento em
: o fator dominante é
.
- Se
, então decai exponencialmente, e sabe-se que qualquer potência de multiplica por um decaimento exponencial resulta em integral convergente (teste de comparação com, por exemplo, ). - Se
, então tende a (quando ) ou a (quando ), fazendo com que o integrando cresça como ou até mais rápido, e portanto
é divergente.
Passo 4
Desses testes, concluímos que a única condição para que a integral seja convergente no infinito é
Resposta
A integral converge se, e somente se,