Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^infty t^2 e^-s t d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de s tais que a integral imprópria
integral0^infty t^2 e^-s t ,d t
seja convergente. Este problema envolve o estudo de comportamento da integral nos extremos do intervalo de integração, ou seja, em tto0^+ e em ttoinfty.

Passo 2

Analisando o comportamento em tto0^+: quando t é pequeno temos e^-s tapprox1, então o integrando se comporta como t^2. Como
integral0^1 t^2,d t = [t^33]0^1 = 13
é finito, não há problema de divergência em t=0 para nenhum valor de s.

Passo 3

Analisando o comportamento em ttoinfty: o fator dominante é e^-s t.
  • Se s>0, então e^-s t decai exponencialmente, e sabe-se que qualquer potência de t multiplica por um decaimento exponencial resulta em integral convergente (teste de comparação com, por exemplo, integral1^infty e^-s2t,dt).
  • Se s<=0, então e^-s t tende a 1 (quando s=0) ou a infty (quando s<0), fazendo com que o integrando cresça como t^2 ou até mais rápido, e portanto
integral1^inftyt^2e^-s t,d t
é divergente.

Passo 4

Desses testes, concluímos que a única condição para que a integral seja convergente no infinito é
s > 0

Resposta

A integral converge se, e somente se,
s > 0

Exercícios relacionados