Achar números inteiros x, y e z que verifiquem a igualdade:
126 x+238 y+482 z=mdc(126,238,482)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar inteiros x,y,z tais que
126x + 238y + 482z = gcd(126,238,482)
O conteúdo usado será o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum e, em seguida, a Identidade de Bézout para escrever esse gcd como combinação linear dos três números.

Passo 2

Calcular gcd(126,238) pelo algoritmo de Euclides:
238 = 126 cdot 1 + 112,
126 = 112 cdot 1 + 14,
112 = 14 cdot 8 + 0
Logo
gcd(126,238) = 14

Passo 3

Expressar 14 como combinação de 126 e 238. Das divisões acima:
14 = 126 - 112 e 112 = 238 - 126
Substituindo:
14 = 126 - (238 - 126) = 2cdot126 - 238

Passo 4

Calcular gcd(14,482) pelo algoritmo de Euclides:
482 = 14 cdot 34 + 6,
14 = 6 cdot 2 + 2,
6 = 2 cdot 3 + 0
Logo
gcd(14,482) = 2

Passo 5

Expressar 2 como combinação de 14 e 482. Das divisões:
6 = 482 - 14 cdot 34,
2 = 14 - 6 cdot 2
Substituindo 6:
2 = 14 - 2l(482 - 14cdot34r) = 14,(1 + 68) - 2cdot482 = 69cdot14 - 2cdot482
Agora substituímos a expressão de 14 em termos de 126 e 238:
2 = 69l(2cdot126 - 238r) - 2cdot482 = 138cdot126 - 69cdot238 - 2cdot482
Daí obtemos uma solução da identidade de Bézout:
x = 138, y = -69, z = -2

Resposta

x = 138, y = -69, z = -2.

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