A expressão abaixo, na sua forma simplificada, é idêntica ao polinômio a x^2+b x+c.
7 cdot(x-3)^2-4 cdot(3 x+1)^2+2 cdot(2-3 x)^2-3(2 x-5)^2
Determine o valor de a+b+c.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
7cdot(x-3)^2;-;4cdot(3x+1)^2;+;2cdot(2-3x)^2;-;3,(2x-5)^2
e mostrar que ela é igual a um polinômio a x^2+b x+c. O objetivo final é encontrar a+b+c. Vamos usar a expansão de binômios ,(u+v)^2=u^2+2uv+v^2 e (u-v)^2=u^2-2uv+v^2, agrupar termos em x^2, x e constantes, e então somar os coeficientes.

Passo 2

Expandimos o primeiro e o segundo termo:
7,(x-3)^2 =7l(x^2-2cdot xcdot3+3^2r) =7l(x^2-6x+9r) =7x^2-42x+63,
-4,(3x+1)^2 =-4l((3x)^2+2cdot3xcdot1+1^2r) =-4l(9x^2+6x+1r) =-36x^2-24x-4

Passo 3

Agora expandimos o terceiro e quarto termos:
2,(2-3x)^2 =2l((2)^2-2cdot2cdot3x+(3x)^2r) =2l(4-12x+9x^2r) =18x^2-24x+8,
-3,(2x-5)^2 =-3l((2x)^2-2cdot2xcdot5+5^2r) =-3l(4x^2-20x+25r) =-12x^2+60x-75

Passo 4

Somamos termo a termo para obter o polinômio na forma ax^2+bx+c.
Coeficiente de x^2:
7 ;-;36;+;18;-;12 ;=; -23 Longrightarrow a=-23
Coeficiente de x:
-42;-;24;-;24;+;60 ;=;-30 Longrightarrow b=-30
Termo constante:
63;-;4;+;8;-;75 ;=;-8 Longrightarrow c=-8

Resposta

a+b+c = -23 + (-30) + (-8) = -61

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