Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas em seus domínios. f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\cos x}{x}, \text { se } x \neq 0, \\\ L, \text { se } x=0\end{array}\right.
A pergunta é: determinar o valor de L para que a função seja contínua em seu domínio.
Informações relevantes fornecidas: a definição explícita de f(x) para x\neq 0 e o valor arbitrário L atribuído em x=0. Não há outras condições.]
Passo 2
O que significa “ser contínua em seu domínio” neste contexto? Uma função f é contínua em x=0 se e somente se o limite de f(x) quando x\to 0 existir e for igual ao valor da função em 0, isto é,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Aqui f(0)=L. Portanto precisamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x} e depois escolher L igual a esse limite. Observação prática: para x\neq 0 a expressão \dfrac{1-\cos x}{x} é formada por funções trigonométricas e polinomiais contínuas divididas por x diferente de zero, logo não há problema de continuidade nesses pontos — o único ponto a verificar é x=0.
Passo 3
Vamos então calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}.
Vou reescrever a expressão usando uma identidade trigonométrica que facilita o uso do limite padrão \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
Passo 4
Usamos a identidade do cosseno em termos do seno do semiente:
Como a função é contínua em x\neq 0 e o limite à direita e à esquerda em 0 existe e vale 0, para que f seja contínua em todo o domínio devemos escolher L igual a esse limite. Portanto