Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas em seus domínios.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-\cos x}{x}, \text { se } x \neq 0, \\\ L, \text { se } x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\cos x}{x}, &\text{se } x\neq 0,\\[6pt] L, &\text{se } x=0. \end{cases}
A pergunta é: determinar o valor de L para que a função seja contínua em seu domínio.
Informações relevantes fornecidas: a definição explícita de f(x) para x\neq 0 e o valor arbitrário L atribuído em x=0. Não há outras condições.]

Passo 2

O que significa “ser contínua em seu domínio” neste contexto? Uma função f é contínua em x=0 se e somente se o limite de f(x) quando x\to 0 existir e for igual ao valor da função em 0, isto é,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Aqui f(0)=L. Portanto precisamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x} e depois escolher L igual a esse limite. Observação prática: para x\neq 0 a expressão \dfrac{1-\cos x}{x} é formada por funções trigonométricas e polinomiais contínuas divididas por x diferente de zero, logo não há problema de continuidade nesses pontos — o único ponto a verificar é x=0.

Passo 3

Vamos então calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}.
Vou reescrever a expressão usando uma identidade trigonométrica que facilita o uso do limite padrão \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.

Passo 4

Usamos a identidade do cosseno em termos do seno do semiente:
\cos x = 1 - 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right),
portanto
1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 5

Substituindo na expressão do limite obtemos
\frac{1-\cos x}{x}=\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}.
Agora manipulo essa fração de forma a destacar um fator do tipo \dfrac{\sin t}{t}. Uma forma clara é:
\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}.
Note que passei de \dfrac{2\sin(x/2)}{x} para \dfrac{\sin(x/2)}{x/2}, que é a mesma coisa.

Passo 6

Agora uso o limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Colocando t=\dfrac{x}{2} (ou seja, quando x\to 0 temos t\to 0), obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}=1.
Além disso \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=0. Assim, pelo produto de limites,
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} =\lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} =0\cdot 1 = 0.

Passo 7

Como a função é contínua em x\neq 0 e o limite à direita e à esquerda em 0 existe e vale 0, para que f seja contínua em todo o domínio devemos escolher L igual a esse limite. Portanto
L=0.

Resposta

L=0

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