Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
f(x)=\sqrt{2 x-3}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: “Verifique se a função f(x)=\sqrt{2 x-3}+x^{2} é contínua, e diga quando as descontinuidades são removíveis.”
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é f(x)=\sqrt{2 x-3}+x^{2}.
  • Para que \sqrt{2x-3} faça sentido real, precisa valer 2x-3\ge 0. Portanto o domínio natural da função é D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 3/2\}=[3/2,\infty).
  • Precisamos: (a) verificar continuidade em todos os pontos do domínio; (b) identificar se existem descontinuidades e, caso existam, dizer quando são removíveis.

Passo 2

Relembrando o que significa ser contínuo (aula rápida e amistosa):
  • Uma função f é contínua num ponto a interior do domínio se \lim_{x\to a}f(x)=f(a). Para pontos de extremidade do domínio (como a=3/2 aqui), usamos o limite por um lado: por exemplo, em a=3/2 exigimos \lim_{x\to 3/2^{+}}f(x)=f(3/2).
  • Propriedade útil (que facilita muito a prova): somas e composições de funções contínuas são contínuas onde cada parte está definida. Em particular: a função x\mapsto x^{2} é contínua em todo \mathbb{R}; a função x\mapsto \sqrt{x} é contínua em seu domínio [0,\infty). Assim, x\mapsto \sqrt{2x-3} é contínua em seu domínio x tal que 2x-3\ge 0, isto é, em [3/2,\infty). Então a soma \sqrt{2x-3}+x^{2} será contínua em qualquer ponto interno do domínio onde ambas as parcelas estão definidas.

Passo 3

Continuidade para x>3/2 (ponto interior do domínio):
  • Para x>3/2 temos que 2x-3>0, então tanto \sqrt{2x-3} quanto x^{2} são bem definidas e contínuas naquele ponto.
  • Pela propriedade da soma de funções contínuas, f(x)=\sqrt{2x-3}+x^{2} é contínua em todo ponto x>3/2.

Passo 4

Verificação no ponto extremo x=3/2:
  • Primeiro calcule o valor da função em x=3/2:
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\sqrt{2\cdot\tfrac{3}{2}-3}+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\sqrt{3-3}+\tfrac{9}{4}=0+\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{4}.
  • Agora calcule o limite à direita quando x\to\tfrac{3}{2}^{+}. Como x^{2} é contínua, \lim_{x\to\tfrac{3}{2}^{+}}x^{2}=(\tfrac{3}{2})^{2}=\tfrac{9}{4}. E \lim_{x\to\tfrac{3}{2}^{+}}\sqrt{2x-3}=\sqrt{\lim_{x\to\tfrac{3}{2}^{+}}(2x-3)}=\sqrt{0}=0. Portanto
\lim_{x\to\tfrac{3}{2}^{+}}f(x)=0+\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{4}.
  • Como \lim_{x\to\tfrac{3}{2}^{+}}f(x)=f(\tfrac{3}{2})=\tfrac{9}{4}, a função é contínua em x=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Conclusão sobre continuidade e descontinuidades removíveis (explicando o conceito e aplicando):
  • Resumo: vimos que f é contínua em todo ponto x>3/2 e também contínua em x=\tfrac{3}{2}. Portanto f é contínua em todo o domínio D=[3/2,\infty).
  • Sobre pontos x<3/2: a função não está definida nesses pontos, então não há continuidade nem descontinuidade propriamente dita dentro do domínio; se alguém perguntar sobre estender f para \mathbb{R}, uma descontinuidade é chamada removível num ponto a se o limite \lim_{x\to a}f(x) existe finito mas ou f(a) não está definido ou f(a) é diferente desse limite. Aqui não existe nenhum ponto do tipo: em x=\tfrac{3}{2} o limite existe e coincide com o valor; para x<\tfrac{3}{2} não há limite (nem vizinhança à esquerda e à direita com valores reais de f), então não há descontinuidade removível.
  • Portanto não existem descontinuidades removíveis nesta função.

Resposta

A função f é contínua em [\,\tfrac{3}{2},\infty).
Não existem descontinuidades removíveis.

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