Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
Passo 1
O enunciado pede: “Verifique se a função
é contínua, e diga quando as descontinuidades são removíveis.”
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - Para que
faça sentido real, precisa valer . Portanto o domínio natural da função é . - Precisamos: (a) verificar continuidade em todos os pontos do domínio; (b) identificar se existem descontinuidades e, caso existam, dizer quando são removíveis.
Passo 2
Relembrando o que significa ser contínuo (aula rápida e amistosa):
- Uma função
é contínua num ponto interior do domínio se . Para pontos de extremidade do domínio (como aqui), usamos o limite por um lado: por exemplo, em exigimos . - Propriedade útil (que facilita muito a prova): somas e composições de funções contínuas são contínuas onde cada parte está definida. Em particular: a função
é contínua em todo ; a função é contínua em seu domínio . Assim, é contínua em seu domínio tal que , isto é, em . Então a soma será contínua em qualquer ponto interno do domínio onde ambas as parcelas estão definidas.
Passo 3
Continuidade para
(ponto interior do domínio):
- Para
temos que , então tanto quanto são bem definidas e contínuas naquele ponto. - Pela propriedade da soma de funções contínuas,
é contínua em todo ponto .
Passo 4
Verificação no ponto extremo
:
- Primeiro calcule o valor da função em
:
- Agora calcule o limite à direita quando
. Como é contínua, . E . Portanto
- Como
, a função é contínua em .
Passo 5
Conclusão sobre continuidade e descontinuidades removíveis (explicando o conceito e aplicando):
- Resumo: vimos que
é contínua em todo ponto e também contínua em . Portanto é contínua em todo o domínio . - Sobre pontos
: a função não está definida nesses pontos, então não há continuidade nem descontinuidade propriamente dita dentro do domínio; se alguém perguntar sobre estender para , uma descontinuidade é chamada removível num ponto se o limite existe finito mas ou não está definido ou é diferente desse limite. Aqui não existe nenhum ponto do tipo: em o limite existe e coincide com o valor; para não há limite (nem vizinhança à esquerda e à direita com valores reais de ), então não há descontinuidade removível. - Portanto não existem descontinuidades removíveis nesta função.
Resposta
A função
é contínua em
.
Não existem descontinuidades removíveis.
Não existem descontinuidades removíveis.