Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique se a função
é contínua e que eu diga quando (se houver) as descontinuidades são removíveis. Informações dadas: a expressão explícita de
. Perguntas a responder:
- Em que pontos
é contínua? - Existem descontinuidades? Se sim, quais e quais são removíveis?
Passo 2
Vou olhar primeiro para o denominador, porque uma razão de polinômios só pode falhar em ser definida (e portanto pode gerar descontinuidade) onde o denominador é zero. O denominador é
Posso completar o quadrado para ver se isso é zero para algum
:
Como
para todo
, temos
. Logo o denominador nunca é zero para nenhum
. Portanto o domínio de
é todo
.
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre continuidade (passo didático, mastigado):
- Definição local: dizemos que
é contínua num ponto se existe e é igual a . Em palavras: aproximando de , os valores de aproximam exatamente o valor . - Propriedade útil: todo polinômio é contínuo em todo
. Soma, produto e razão (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são funções contínuas. Assim, qualquer função racional (quociente de dois polinômios) é contínua em todos os pontos onde o denominador não se anula.
Explicação rápida do porquê: limites de polinômios são obtidos substituindo o ponto (porque não há indeterminação); as operações algebricas preservam limites; portanto soma/produto/razão preservam continuidade desde que não apareça divisão por zero.
Passo 4
Aplicando isso a
: o numerador
é um polinômio (portanto contínuo em todo
). O denominador
também é um polinômio e, pelo Passo 2, nunca é zero. Logo a razão de dois polinômios com denominador não nulo é contínua em todos os pontos do domínio. Como o domínio é todo
, concluímos que
é contínua em todo
.
Passo 5
O que é uma descontinuidade removível? É um ponto
onde a função ou não está definida ou está definida com um valor diferente, mas o limite
existe finito. Nesse caso podemos “remover” a descontinuidade redefinindo
igual ao valor do limite (por exemplo, a função
para
tem
mas
não está definida; redefinindo
tornamos a função contínua em
).
No nosso caso não existe nenhum ponto onde não esteja definida (domínio é todo
), portanto não há pontos com potencial de descontinuidade removível nem outro tipo de descontinuidade.
No nosso caso não existe nenhum ponto onde
Resposta
Não há descontinuidades (portanto não há descontinuidade removível).