Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
f(x)=\frac{x^{3}+3 x+7}{x^{2}-6 x+10}

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se a função
f(x)=\frac{x^{3}+3x+7}{x^{2}-6x+10}
é contínua e que eu diga quando (se houver) as descontinuidades são removíveis. Informações dadas: a expressão explícita de f(x). Perguntas a responder:
  • Em que pontos f é contínua?
  • Existem descontinuidades? Se sim, quais e quais são removíveis?

Passo 2

Vou olhar primeiro para o denominador, porque uma razão de polinômios só pode falhar em ser definida (e portanto pode gerar descontinuidade) onde o denominador é zero. O denominador é
x^{2}-6x+10.
Posso completar o quadrado para ver se isso é zero para algum x:
x^{2}-6x+10=(x-3)^{2}+1.
Como (x-3)^{2}\ge 0 para todo x, temos (x-3)^{2}+1\ge 1>0. Logo o denominador nunca é zero para nenhum x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio de f é todo \mathbb{R}.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre continuidade (passo didático, mastigado):
  • Definição local: dizemos que f é contínua num ponto a se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a). Em palavras: aproximando x de a, os valores de f(x) aproximam exatamente o valor f(a).
  • Propriedade útil: todo polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Soma, produto e razão (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são funções contínuas. Assim, qualquer função racional (quociente de dois polinômios) é contínua em todos os pontos onde o denominador não se anula.
    Explicação rápida do porquê: limites de polinômios são obtidos substituindo o ponto (porque não há indeterminação); as operações algebricas preservam limites; portanto soma/produto/razão preservam continuidade desde que não apareça divisão por zero.

Passo 4

Aplicando isso a f: o numerador x^{3}+3x+7 é um polinômio (portanto contínuo em todo \mathbb{R}). O denominador x^{2}-6x+10 também é um polinômio e, pelo Passo 2, nunca é zero. Logo a razão de dois polinômios com denominador não nulo é contínua em todos os pontos do domínio. Como o domínio é todo \mathbb{R}, concluímos que f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

O que é uma descontinuidade removível? É um ponto a onde a função ou não está definida ou está definida com um valor diferente, mas o limite \lim_{x\to a} f(x) existe finito. Nesse caso podemos “remover” a descontinuidade redefinindo f(a) igual ao valor do limite (por exemplo, a função g(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} para x\neq 1 tem \lim_{x\to 1} g(x)=2 mas g(1) não está definida; redefinindo g(1)=2 tornamos a função contínua em 1).
No nosso caso não existe nenhum ponto onde f não esteja definida (domínio é todo \mathbb{R}), portanto não há pontos com potencial de descontinuidade removível nem outro tipo de descontinuidade.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{R}.
Não há descontinuidades (portanto não há descontinuidade removível).

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