Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas em seus domínios
f(x)=lraizx+3-2raiz3-x-raiz2, se 1<x <= 3, L, se x <= 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracraizx+3-2raiz3-x-raiz2,&1<x<=3, L,&x<=1,
e pede o valor de L que torne f contínua em todo o seu domínio. O conteúdo é continuidade de função por parts, e vamos precisar exigir que o limite à direita em x=1 coincida com o valor de f em x=1.

Passo 2

O único ponto onde pode haver descontinuidade é em x=1, pois é ali que a definição muda de ramo. Para ter continuidade em x=1 precisamos de
limxto1^+f(x)=f(1)=L

Passo 3

Vamos calcular
limxto1^+raizx+3-2raiz3-x-raiz2
Substituindo x=1 diretamente dá forma indeterminada 0/0, então racionalizamos primeiro o denominador.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por raiz3-x+raiz2:
raizx+3-2raiz3-x-raiz2 ;=; (raizx+3-2)(raiz3-x+raiz2)(raiz3-x-raiz2)(raiz3-x+raiz2) ;=; (raizx+3-2)(raiz3-x+raiz2)3-x-2 ;=; -(raizx+3-2)(raiz3-x+raiz2)x-1

Passo 5

Ainda há fator x-1 embaixo e raizx+3-2 em cima, então racionalizamos também o numerador raizx+3-2 multiplicando por raizx+3+2:
-(raizx+3-2)(raiz3-x+raiz2)x-1 ;times; raizx+3+2raizx+3+2 ;=; -(x+3-4)(raiz3-x+raiz2)(x-1)(raizx+3+2) ;=; -(x-1)(raiz3-x+raiz2)(x-1)(raizx+3+2) ;=; -raiz3-x+raiz2raizx+3+2
Agora tomamos xto1^+:
limxto1^+f(x) =-raiz3-1+raiz2raiz1+3+2 =-raiz2+raiz22+2 =-2raiz24 =-raiz22
Para continuidade, L deve ser esse valor.

Resposta

L=-raiz22

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