Esboce a curva usando as equações paramétricas. Em seguida, elimine o parâmetro t para expressar a curva via uma equação cartesiana
x=1+t, y=2 t+1, t in R

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x = 1 + t, y = 2t + 1, tinR,
e pede (a) um esboço da curva e (b) a eliminação do parâmetro t para obter a forma cartesiana. O conteúdo aqui é geometria analítica de curvas paramétricas, reconhecendo que, por serem funções lineares de t, a curva será uma reta.

Passo 2

Para esboçar a curva, note que:
  • Quando t=0, obtemos o ponto (x,y)=(1,1).
  • Quando t=1, obtemos (x,y)=(2,3).
  • Quando t=-1, obtemos (x,y)=(0,-1).
Esses três pontos já mostram que a curva é uma reta. A direção dessa reta vem do vetor diretor
( De<a x,De<a y ) = (1,2)
pois ao aumentar t de uma unidade, x cresce em 1 e y cresce em 2. Então, no plano, basta plotar (0,-1), (1,1) e (2,3) e unir com uma reta passando por esses pontos.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, basta isolar t em x = 1 + t:
t = x - 1
Substituindo em y = 2t + 1, vem
y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1

Resposta

A curva é a reta de equação cartesiana
y = 2x - 1,
com esboço passando, por exemplo, pelos pontos (0,-1), (1,1) e (2,3), tendo inclinação 2.

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