Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}4-x+x^{3} & \text { se } x \leq 1 \\\\ 9-L x^{2} & \text { se } x>1\end{array}\right., no ponto x=1.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x) = \begin{cases} 4 - x + x^{3}, & \text{se } x \le 1,\\\\ 9 - L x^{2}, & \text{se } x > 1, \end{cases}
e pede o valor de L para que f seja contínua em x=1. O conteúdo é de continuidade de função por partes: precisamos igualar os limites laterais em x=1.
Passo 2
Calculamos o limite pela esquerda em x=1, que coincide com o valor de f(1) no primeiro ramo:
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 4 - 1 + 1^3 = 4.
Passo 3
Calculamos o limite pela direita em x=1 usando o segundo ramo:
\lim_{x \to 1^+} f(x) = 9 - L \cdot 1^2 = 9 - L.
Passo 4
Para continuidade em x=1 é preciso
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x).
Ou seja,
4 = 9 - L \quad\Longrightarrow\quad L = 9 - 4 = 5.