Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bairro, após t dias é dado por L(t)=\frac{100000}{1+19900 e^{-0.8 t}}.
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de L.

Passo 1

O enunciado nos dá a função logística
L(t) = \frac{100000}{1 + 19900\,e^{-0.8t}},
que modela o número de infectados em função do tempo t. O que pedem:
– (a) a quantidade máxima de indivíduos atingidos;
– (b) o esboço do gráfico de L.

Passo 2

Para determinar a quantidade máxima de indivíduos atingidos, observamos que, em epidemias, a capacidade de “carrying” é a assíntota horizontal de L quando t \to +\infty. Calculamos
\lim_{t \to +\infty} L(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{100000}{1 + 19900\,e^{-0.8t}} = \frac{100000}{1 + 19900\cdot 0} = 100000.

Passo 3

Logo, o número máximo de pessoas que irão adoecer é
\boxed{100000}.

Passo 4

Para esboçar o gráfico de L, identificamos algumas características-chave:
– Limites em t\to -\infty e em t\to +\infty:
\lim_{t \to -\infty} L(t) = \frac{100000}{+\infty}=0, \quad \lim_{t \to +\infty} L(t)=100000.
– Valor inicial aproximado em t=0:
L(0)=\frac{100000}{1+19900}\approx 5.
– Função estritamente crescente (pois coeficiente -0.8 em e^{-0.8t} gera decaimento no denominador).

Passo 5

Para completar o esboço, notamos também o ponto de inflexão, onde L(t)=K/2=50000. Esse ocorre quando
1+19900\,e^{-0.8t}=2 \quad\Longrightarrow\quad e^{-0.8t}=\frac1{19900} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{0.8}\ln(19900)\approx 12{,}4\text{ dias}.
Assim, o gráfico é uma curva em “S” (sigmoide), partindo perto de 0 para t\ll0, passando por (0,5), infletindo em (12,4,50000) e aproximando-se de 100000 para t\to+\infty.

Resposta

(a) 100000.
(b) Gráfico sigmoidal com assíntotas horizontais y=0 e y=100000, valor inicial L(0)\approx5, ponto de inflexão em (12{,}4,50000) e crescimento monótono de 0 até 100000.

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