Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bairro, após
dias é dado por
.
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de
.
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função logística
que modela o número de infectados em função do tempo
. O que pedem:
– (a) a quantidade máxima de indivíduos atingidos;
– (b) o esboço do gráfico de .
– (a) a quantidade máxima de indivíduos atingidos;
– (b) o esboço do gráfico de
Passo 2
Para determinar a quantidade máxima de indivíduos atingidos, observamos que, em epidemias, a capacidade de “carrying” é a assíntota horizontal de
quando
. Calculamos
Passo 3
Logo, o número máximo de pessoas que irão adoecer é
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
, identificamos algumas características-chave:
– Limites em e em
:
– Limites em
– Valor inicial aproximado em
:
– Função estritamente crescente (pois coeficiente
em
gera decaimento no denominador).
Passo 5
Para completar o esboço, notamos também o ponto de inflexão, onde
. Esse ocorre quando
Assim, o gráfico é uma curva em “S” (sigmoide), partindo perto de 0 para
, passando por
, infletindo em
e aproximando-se de 100000 para
.
Resposta
(a)
.
(b) Gráfico sigmoidal com assíntotas horizontais e
, valor inicial
, ponto de inflexão em
e crescimento monótono de 0 até 100000.
(b) Gráfico sigmoidal com assíntotas horizontais