Verifique se para a integral \int_{0}^{1 / 16} \int_{y^{1 / 4}}^{1 / 2} \cos \left(16 \pi x^{5}\right) d x d y é necessário inverter a ordem de integração.Em caso afirmativo,calcule a integral

Passo 1

O enunciado pede que a gente avalie
\int_{0}^{1/16}\int_{y^{1/4}}^{1/2}\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx\,dy
verificando se faz sentido inverter a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e uso de substituição para resolver a integral resultante.

Passo 2

Precisamos entender a região R no plano (x,y). As condições são
0 \le y\le1/16 e y^{1/4}\le x\le1/2.
Isso equivale a
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le x^4,\;0\le x\le 1/2\}.
Logo, ao inverter, x varia de 0 a 1/2 e, para cada x, y varia de 0 a x^4.

Passo 3

Invertendo a ordem, a integral vira
\int_{x=0}^{1/2}\int_{y=0}^{x^4}\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Como dentro não há y, fazemos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{x^4}dy = x^4.
Então a integral fica
\int_{0}^{1/2} x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx.

Passo 5

Para resolver
\int_{0}^{1/2} x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx
fazemos a substituição \displaystyle u=16\pi x^5, daí du=80\pi x^4\,dx, ou seja x^4\,dx=du/(80\pi).
Quando x=0, u=0; quando x=1/2, u=16\pi(1/2)^5=\pi/2.
Logo
\int_{0}^{1/2} x^4\cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,\frac{du}{80\pi} =\frac{1}{80\pi}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{80\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{80\pi}

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