Determine o valor das seguintes integrais, se possível.
Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
\int_{0}^{1}\left(x+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\Bigl(x + \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido são integrais de potências e o teste de convergência em x=0. Vamos reescrever cada termo em forma de potência e verificar se a integral converge em 0.

Passo 2

Escrevemos o integrando como soma de potências:
x = x^{1},\quad \sqrt{x}=x^{\tfrac12},\quad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\tfrac13}.
Verificamos a convergência em x=0: para \int_{0}x^{\alpha}dx ser convergente precisamos de \alpha>-1. Aqui os expoentes são 1, \tfrac12 e -\tfrac13, todos maiores que -1, logo a integral converge.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
\int x^{1}dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int x^{\tfrac12}dx = \frac{2}{3}x^{\tfrac32},\quad \int x^{-\tfrac13}dx = \frac{x^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Avaliamo de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac12,
\int_{0}^{1}x^{\tfrac12}dx = \left.\frac{2}{3}x^{\tfrac32}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{3},
\int_{0}^{1}x^{-\tfrac13}dx = \left.\frac{3}{2}x^{\tfrac{2}{3}}\right|_{0}^{1} = \frac{3}{2}.
Somando com os sinais:
\int_{0}^{1}\Bigl(x+\sqrt{x}-\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)dx = \frac12 + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{3+4-9}{6} = -\frac{1}{3}.

Resposta

- \frac{1}{3}

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