Determine o valor das seguintes integrais, se possível.
\int_{1}^{2}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\sqrt[4]{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2}\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\sqrt[4]{x}\Bigr)\,dx
Este é um caso de uso da regra da potência para integrais, pois cada parcela é da forma x^{n}.

Passo 2

Para cada termo aplicamos a fórmula \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Assim, uma primitiva F(x) é
F(x) = \frac{2}{3}\,x^{3/2} \;+\;\frac{3}{2}\,x^{2/3}\;+\;\frac{4}{5}\,x^{5/4}.

Passo 3

Agora avaliamos F em 2 e em 1:
F(2) = \frac{2}{3}\,2^{3/2} \;+\;\frac{3}{2}\,2^{2/3}\;+\;\frac{4}{5}\,2^{5/4}, \quad F(1) = \frac{2}{3}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5} = \frac{89}{30}.

Passo 4

A integral vale
\int_{1}^{2}\Bigl(\sqrt{x}+\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\sqrt[4]{x}\Bigr)\,dx = F(2)-F(1) = \frac{2}{3}\,2^{3/2} \;+\;\frac{3}{2}\,2^{2/3}\;+\;\frac{4}{5}\,2^{5/4} \;-\;\frac{89}{30}.

Resposta

\frac{2}{3}\,2^{3/2} \;+\;\frac{3}{2}\,2^{2/3}\;+\;\frac{4}{5}\,2^{5/4} \;-\;\frac{89}{30}.

Exercícios relacionados