\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(\operatorname{sen}^{2} x\right)}{\ln x})

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln\bigl(\sin^{2}x\bigr)}{\ln x}.
Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmo e a equivalência assintótica \sin x\sim x quando x\to0.

Passo 2

Aplicamos a identidade de logaritmo de potência:
\ln\bigl(\sin^{2}x\bigr)=2\ln\bigl(\sin x\bigr).
Assim, o limite vira
\frac{\ln(\sin^{2}x)}{\ln x} =2\;\frac{\ln(\sin x)}{\ln x}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin x)}{\ln x}, escrevemos
\ln(\sin x) =\ln\!\Bigl(x\cdot\frac{\sin x}{x}\Bigr) =\ln x+\ln\!\Bigl(\tfrac{\sin x}{x}\Bigr).
Logo,
\frac{\ln(\sin x)}{\ln x} =1+\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr)}{\ln x}.
Como \tfrac{\sin x}{x}\to1 implica \ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr)\to0 e \ln x\to-\infty, o segundo termo tende a zero. Portanto
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin x)}{\ln x}=1.

Passo 4

Substituindo no limite original, obtemos
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin^{2}x)}{\ln x} =2\cdot1=2.

Resposta

2

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