Determine se as seguintes séries convergem. Caso convirjam, calcule sua soma
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e somas telescópicas de séries.
Passo 2
Vamos decompor o termo genérico em frações parciais. Procuramos
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes segue
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Passo 3
Definimos a soma parcial
Essa soma é telescópica, pois muitos termos se cancelam. De fato,
Passo 4
Para ver a convergência, tomamos o limite quando
:
Como esse limite é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.