Determine se as seguintes séries convergem. Caso convirjam, calcule sua soma
sumn=1^infty 2n(n+2).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2n(n+2)
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e somas telescópicas de séries.

Passo 2

Vamos decompor o termo genérico em frações parciais. Procuramos A e B tais que
2n(n+2)=An+Bn+2
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) obtemos
2 = A(n+2)+Bn = (A+B),n + 2A
Igualando coeficientes segue
A+B=0, 2A=2;Rightarrow;A=1,;B=-1
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2n(n+2)=1n-1n+2

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
Essa soma é telescópica, pois muitos termos se cancelam. De fato,
SN =(1+tfrac12+tfrac13+dots+tfrac1N) -(tfrac13+tfrac14+dots+tfrac1N+2) =1+tfrac12-tfrac1N+1-tfrac1N+2

Passo 4

Para ver a convergência, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =1+tfrac12-limNtoinftyl(tfrac1N+1+tfrac1N+2r) =1+tfrac12= tfrac32
Como esse limite é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac32.

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