Sabendo que o vetor v=(-1,2 x+1) forma um ângulo de pi4 rad com o vetor A B, determinado pelos pontos A=(2,-2) e B=(0,4). Use: cos 45^circ=raiz22.
Calcule x.

Passo 1

O enunciado dá o vetor vec v =(-1,,2x+1) e o vetor AB determinado pelos pontos A=(2,-2) e B=(0,4). Pede x tal que o ângulo entre vec v e AB seja pi/4. Vamos usar a definição de produto escalar e a fórmula
costheta = vec vcdotAB|vec v|;|AB|,
sabendo que cos 45^circ=tfracraiz22.

Passo 2

Primeiro encontramos AB:
AB=B-A=(0-2,;4-(-2))=(-2,,6)

Passo 3

O produto escalar e as normas são
vec vcdotAB =(-1)(-2)+(2x+1),6 =2+12x+6 =12x+8,
|vec v|=raiz(-1)^2+(2x+1)^2 =raiz1+(2x+1)^2, |AB|=raiz(-2)^2+6^2=raiz40=2raiz10

Passo 4

A condição theta=pi/4 implica
12x+8raiz1+(2x+1)^2;2raiz10 =raiz22
Multiplicando ambos os lados por 2raiz10,raiz1+(2x+1)^2
12x+8 =2raiz10,raiz1+(2x+1)^2;raiz22 =raiz20,raiz1+(2x+1)^2 =2raiz5,raiz1+(2x+1)^2
Elevando ao quadrado:
(12x+8)^2 =4cdot5l[1+(2x+1)^2r] =20l[1+4x^2+4x+1r] =20(4x^2+4x+2)
Logo
144x^2+192x+64 =80x^2+80x+40 Longrightarrow 64x^2+112x+24=0
Dividindo por 8:
8x^2+14x+3=0

Passo 5

Resolvendo a quadrática, o discriminante é
De<a=14^2-4cdot8cdot3=196-96=100,
e
x=-14pm1016 ;Longrightarrow; x=-tfrac14ou x=-tfrac32
Para theta=pi/4 precisamos de costheta>0. Como vec vcdotAB=12x+8, testamos:
se x=-tfrac14, então 12x+8=5>0 (ok);
se x=-tfrac32, então 12x+8=-10<0 (descarta, daria costheta<0).

Resposta

x=-tfrac14

Exercícios relacionados