Exercício 2. Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifique o resultado por diferenciação.
\int \frac{1}{\cos ^{2} z} d z

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de \frac{1}{\cos^2 z}\,dz. Vamos usar as regras básicas de integração de funções trigonométricas, em particular que a derivada de \tan z é \operatorname{sec}^2 z. Depois faremos a verificação por diferenciação.

Passo 2

Reescrevendo o integrando, temos \frac{1}{\cos^2 z}=\operatorname{sec}^2 z. A regra de integração para essa função é
\int \operatorname{sec}^2 z\,dz = \tan z + C.

Passo 3

Para verificar, diferenciamos a primitiva obtida:
\frac{d}{dz}\bigl(\tan z + C\bigr)=\operatorname{sec}^2 z,
que é exatamente o integrando original, confirmando o resultado.

Resposta

\tan z + C

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