Determine o valor da soma:
S=14 cdot 5 cdot 6+15 cdot 6 cdot 7+16 cdot 7 cdot 8+cdots+12021 cdot 2022 cdot 2023
b) 140-12022 cdot 2023

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma telescópica
S=sumn=4^20211n(n+1)(n+2)
O conteúdo é Séries Telescópicas e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para cada termo.

Passo 2

Para decompor o termo geral, lembramos do resultado padrão:
1n(n+1)(n+2)=12l(1n(n+1)-1(n+1)(n+2)r)
Esse passo já simplifica o termo de forma que a soma telescopa.

Passo 3

Substituindo na soma, temos
S=sumn=4^20211n(n+1)(n+2) =12sumn=4^2021l(1n(n+1)-1(n+1)(n+2)r)
Na soma telescópica, quase todos os termos internos cancelam.

Passo 4

O único resíduo vem das “bordas”. Ficamos com
S=12l(14cdot5-12022cdot2023r) =12l(120-12022cdot2023r)

Passo 5

Basta simplificar tfrac12cdottfrac120=tfrac140. Assim obtemos
S=140-12,2022cdot2023
Comparando com as opções dadas, a alternativa correta é

Passo 6

como pedido na letra b)

Passo 7

que corresponde a 140-12022cdot2023.

Resposta

140-12022cdot2023

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