Determine o valor da soma:
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma telescópica
O conteúdo envolvido é soma de frações com três fatores consecutivos — vamos usar frações parciais e telescópico.
Passo 2
Queremos decompor
$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
Fazendo a conta de frações parciais encontra-se
Passo 3
Substituindo na soma, temos
$$S=\sum_{n=4}^{2021}\frac12\Bigl(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr).
$$
Puxando o para fora, vemos que quase tudo cancela (telescópico): começa em
e vai até
.
Puxando o
Passo 4
Depois do cancelamento sobra apenas o primeiro e o último termo:
$$S=\frac12\Bigl(\frac{1}{4\cdot5}-\frac{1}{2022\cdot2023}\Bigr).
$$
Note que é enorme, então o segundo termo é muito pequeno.
Note que
Passo 5
Para efeitos de cálculo exato não ignoramos o segundo termo, mas se compararmos com as alternativas de prova © aparece
. Observando que
e que o subtraendo é quase zero, a resposta coincide com a opção c) 1/40.