Determine o valor da soma:
S=14 cdot 5 cdot 6+15 cdot 6 cdot 7+16 cdot 7 cdot 8+cdots+12021 cdot 2022 cdot 2023
c) 140

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma telescópica
S=sumn=4^20211n(n+1)(n+2)
O conteúdo envolvido é soma de frações com três fatores consecutivos — vamos usar frações parciais e telescópico.

Passo 2

Queremos decompor
$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
1n(n+1)(n+2) \frac{A}{n(n+1)}+\frac{B}{(n+1)(n+2)}.$$
Fazendo a conta de frações parciais encontra-se
An(n+1)+B(n+1)(n+2)

Passo 3

Substituindo na soma, temos
$$S=\sum_{n=4}^{2021}\frac12\Bigl(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr).
$$
Puxando o S=sumn=4^202112l(1n(n+1)-1(n+1)(n+2)r) para fora, vemos que quase tudo cancela (telescópico): começa em 1/2 e vai até n=4.

Passo 4

Depois do cancelamento sobra apenas o primeiro e o último termo:
$$S=\frac12\Bigl(\frac{1}{4\cdot5}-\frac{1}{2022\cdot2023}\Bigr).
$$
Note que S=12l(14cdot5-12022cdot2023r) é enorme, então o segundo termo é muito pequeno.

Passo 5

Para efeitos de cálculo exato não ignoramos o segundo termo, mas se compararmos com as alternativas de prova © aparece 1/40. Observando que
12cdot14cdot5=140,
e que o subtraendo é quase zero, a resposta coincide com a opção c) 1/40.

Resposta

1/40

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