Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Precisamos entender como formar e resolver a equação característica associada para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso se faz supondo que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir tudo por ele:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver uma equação quadrática do tipo $ ar^2 + br + c = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = 2 $. Substituindo:
Percebemos que a raiz é negativa, então os valores de $ r $ são complexos:
Passo 4
Com as raízes complexas $ r = 1 \pm i $, sabemos que a solução geral da equação diferencial será da forma:
Onde $ \alpha = Parte Real $ e $ \beta = Parte Imaginária $ das raízes. No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 1 $. Portanto, substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.