Encontre a solução geral da equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2 y' + 2 y = 0
O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Precisamos entender como formar e resolver a equação característica associada para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Isso se faz supondo que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é um número que vamos determinar. Calculando as derivadas:
y = e^rt
Substituindo na equação original:
r
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir tudo por ele:
y' = r e^rt e y'' = r^2 e^rt
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - 2 r + 2 = 0
Para resolver uma equação quadrática do tipo $ ar^2 + br + c = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
ar^2 + br + c = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -2 $ e $ c = 2 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Percebemos que a raiz é negativa, então os valores de $ r $ são complexos:
a = 1

Passo 4

Com as raízes complexas $ r = 1 \pm i $, sabemos que a solução geral da equação diferencial será da forma:
r = 1 pm i
Onde $ \alpha = Parte Real $ e $ \beta = Parte Imaginária $ das raízes. No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 1 $. Portanto, substituindo:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados