Determine o valor da soma:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma soma que envolve várias frações com produtos de três números no denominador. Essa soma é do tipo:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de frações parciais e somatórios telescópicos. Basicamente, vamos quebrar cada fração em termos mais simples que facilitem a soma total.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como simplificar uma fração como
. Para isso, vamos utilizar a fração parcial, que permite decompor essa expressão em uma diferença de duas frações mais simples.
A ideia é encontrar constantes
e
tais que:
Depois de encontrar
adequado, podemos escrever cada termo da soma de forma que muitas partes se cancelem quando somarmos todos juntos.
Passo 3
Vamos determinar o valor de
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, aplicando essa decomposição na nossa soma
:
Isso transforma nossa soma em uma série telescópica, onde muitas partes se cancelam.
Passo 5
Vamos expandir os primeiros e últimos termos para ver como ocorre o cancelamento:
Observamos que
,
, etc., aparecem duas vezes com sinais opostos e, portanto, se cancelam.
Passo 6
Após o cancelamento, restam apenas os termos de início e fim da soma:
Agora, é só calcular esses valores.
Passo 7
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A soma vale
.