Determine o valor da soma:
S=14 cdot 5 cdot 6+15 cdot 6 cdot 7+16 cdot 7 cdot 8+cdots+12021 cdot 2022 cdot 2023
a) 140-14044 cdot 2023

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma soma que envolve várias frações com produtos de três números no denominador. Essa soma é do tipo:
S = 14 cdot 5 cdot 6 + 15 cdot 6 cdot 7 + 16 cdot 7 cdot 8 + cdots + 12021 cdot 2022 cdot 2023
Para resolver isso, vamos usar conceitos de frações parciais e somatórios telescópicos. Basicamente, vamos quebrar cada fração em termos mais simples que facilitem a soma total.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como simplificar uma fração como 1n(n+1)(n+2). Para isso, vamos utilizar a fração parcial, que permite decompor essa expressão em uma diferença de duas frações mais simples.
A ideia é encontrar constantes A e B tais que:
1n(n+1)(n+2) = An(n+1) - A(n+1)(n+2)
Depois de encontrar A adequado, podemos escrever cada termo da soma de forma que muitas partes se cancelem quando somarmos todos juntos.

Passo 3

Vamos determinar o valor de A. Para isso, igualamos as duas expressões:
1n(n+1)(n+2) = An(n+1) - A(n+1)(n+2)
Multiplicando ambos os lados por n(n+1)(n+2) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+2) - A(n) 1 = A(n + 2 - n) 1 = 2A A = 12
Então, substituindo:
1n(n+1)(n+2) = 12 ( 1n(n+1) - 1(n+1)(n+2) )

Passo 4

Agora, aplicando essa decomposição na nossa soma S:
S = sumn=4^2021 1n(n+1)(n+2) = 12 sumn=4^2021 ( 1n(n+1) - 1(n+1)(n+2) )
Isso transforma nossa soma em uma série telescópica, onde muitas partes se cancelam.

Passo 5

Vamos expandir os primeiros e últimos termos para ver como ocorre o cancelamento:
S = 12 ( ( 14 cdot 5 - 15 cdot 6 ) + ( 15 cdot 6 - 16 cdot 7 ) + cdots + ( 12021 cdot 2022 - 12022 cdot 2023 ) )
Observamos que 15 cdot 6, 16 cdot 7, etc., aparecem duas vezes com sinais opostos e, portanto, se cancelam.

Passo 6

Após o cancelamento, restam apenas os termos de início e fim da soma:
S = 12 ( 14 cdot 5 - 12022 cdot 2023 )
Agora, é só calcular esses valores.

Passo 7

Calculando cada parte:
14 cdot 5 = 120 12022 cdot 2023 = 12022 times 2023 = 14044 cdot 2023
Então:
S = 12 ( 120 - 14044 cdot 2023 ) = 140 - 12 cdot 4044 cdot 2023 = 140 - 14044 cdot 2023

Resposta

A soma vale 140 - 14044 cdot 2023.

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