Determine o valor da soma:
S=14 cdot 5 cdot 6+15 cdot 6 cdot 7+16 cdot 7 cdot 8+cdots+12021 cdot 2022 cdot 2023
d) 120-12022 cdot 2023

Passo 1

Estamos somando os termos da forma 1k(k+1)(k+2) de k=4 até k=2021. O conteúdo principal é série telescópica e vamos usar a identidade de frações parciais para decompor cada termo.

Passo 2

Para decompor o termo geral, escrevemos

Essa fórmula funciona porque, ao colocar na mesma fração, no numerador fica n1k(k+1)(k+2) = 12l(1k(k+1) - 1(k+1)(k+2)r)n, cancelando com o (k+2)-k=2.

Passo 3

Substituindo na soma, obtemos

Note que isso é uma soma telescópica: quase todos os termos intermediários se cancelam. Escrevendo os primeiros e últimos:
Depois de eliminar os termos repetidos, sobra

Passo 4

Basta agora colocar 4cdot5=20 e distribuir o tfrac12:

Resposta

S = 140 - 12cdot2022cdot2023

Exercícios relacionados