Do problema do 1 ao 6, para encontrar a transformada de Laplace
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) $, que é dada por:
Para resolver, vamos precisar da definição da transformada de Laplace e entender como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo $ f(t) $ em uma função de uma variável complexa $ s $, denotada por $ \mathscr{L}{f(t)} $. A definição matemática é:
No nosso caso, $ f(t) $ é diferente de zero apenas no intervalo $ 0 \leq t < \pi $.
Passo 3
Como $ f(t) = 0 $ para $ t \geq \pi $, a integral da transformada de Laplace vai de $ 0 $ até $ \pi $ em vez de até $ \infty $. Assim, podemos reescrever a transformada como:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou consultamos uma tabela de integrais. A integral de $ e^{-st} \sin t $ é conhecida e é dada por:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de $ 0 $ a $ \pi $:
Substituindo $ t = \pi $ e $ t = 0 $:
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, $ \cos \pi = -1 $, $ \sin 0 = 0 $ e $ \cos 0 = 1 $. Substituindo esses valores:
Passo 6
Podemos fatorar $ \frac{1}{s^{2} + 1} $ para simplificar:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) $ é: