Determine o valor da soma
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas e o que precisamos obter:
- Temos um somatório que vai de
até . - Cada termo é da forma
. - A tarefa é encontrar o valor fechado dessa soma em função de
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é o símbolo
. Ele é o coeficiente binomial e representa o número de maneiras de escolher
elementos dentre
. Em fórmula:
onde
(fatorial de
) é o produto
. Exemplo rápido:
.
Passo 3
A ferramenta chave aqui é o Teorema Binomial. Ele afirma que, para qualquer número
e inteiro
,
Explicando cada parte:
- O lado esquerdo
é a potência de uma soma. - O lado direito é uma soma de termos
; o coeficiente aparece porque, ao expandir o produto vezes, para obter um termo escolhemos exatamente fatores dentre os fatores — e há maneiras de fazer isso.
Passo 4
Um resumo do porquê do Teorema Binomial (intuição combinatória):
- Escreva
( fatores). - Ao multiplicar, cada fator contribui com
ou com . - Para formar um monômio
você precisa escolher exatamente fatores que contribuam com e os outros com . - O número de escolhas é
, logo o coeficiente de é .
Isso justifica a fórmula do passo anterior.
Passo 5
Agora aplique o Teorema Binomial ao caso
. Substituindo
na identidade do passo 3, obtemos
O lado direito é exatamente a soma
do enunciado. No lado esquerdo
, portanto
Passo 6
Para ficar mais seguro, confira com exemplos pequenos:
- Se
: . - Se
: .
Esses exemplos batem com a fórmula.
Passo 7
Conclusão: a soma pedida é
.