Determine o valor da soma C_{n}^{0}+3 C_{n}^{1}+3^{2} C_{n}^{2}+\cdots+3^{n} C_{n}^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S=\binom{n}{0}+3\binom{n}{1}+3^{2}\binom{n}{2}+\cdots+3^{n}\binom{n}{n}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Temos um somatório que vai de k=0 até k=n.
  • Cada termo é da forma 3^{k}\binom{n}{k}.
  • A tarefa é encontrar o valor fechado dessa soma em função de n.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o símbolo \binom{n}{k}. Ele é o coeficiente binomial e representa o número de maneiras de escolher k elementos dentre n. Em fórmula:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1. Exemplo rápido: \binom{3}{1}=\dfrac{3!}{1!2!}=3.

Passo 3

A ferramenta chave aqui é o Teorema Binomial. Ele afirma que, para qualquer número x e inteiro n\ge0,
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Explicando cada parte:
  • O lado esquerdo (1+x)^{n} é a potência de uma soma.
  • O lado direito é uma soma de termos \binom{n}{k}x^{k}; o coeficiente \binom{n}{k} aparece porque, ao expandir o produto (1+x)(1+x)\cdots(1+x) n vezes, para obter um termo x^{k} escolhemos exatamente k fatores x dentre os n fatores — e há \binom{n}{k} maneiras de fazer isso.

Passo 4

Um resumo do porquê do Teorema Binomial (intuição combinatória):
  • Escreva (1+x)^{n}=(1+x)(1+x)\cdots(1+x) ( n fatores).
  • Ao multiplicar, cada fator contribui com 1 ou com x.
  • Para formar um monômio x^{k} você precisa escolher exatamente k fatores que contribuam com x e os outros n-k com 1.
  • O número de escolhas é \binom{n}{k}, logo o coeficiente de x^{k} é \binom{n}{k}.
    Isso justifica a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Agora aplique o Teorema Binomial ao caso x=3. Substituindo x=3 na identidade do passo 3, obtemos
(1+3)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^{k}.
O lado direito é exatamente a soma S do enunciado. No lado esquerdo 1+3=4, portanto
S=4^{n}.

Passo 6

Para ficar mais seguro, confira com exemplos pequenos:
  • Se n=1: S=\binom{1}{0}+3\binom{1}{1}=1+3\cdot1=4=4^{1}.
  • Se n=2: S=\binom{2}{0}+3\binom{2}{1}+9\binom{2}{2}=1+3\cdot2+9\cdot1=1+6+9=16=4^{2}.
    Esses exemplos batem com a fórmula 4^{n}.

Passo 7

Conclusão: a soma pedida é 4^{n}.

Resposta

4^{n}

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