De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado diz: temos 6 crianças formando uma roda de ciranda. Duas crianças são chamadas Vera e Isadora, e a restrição é que Vera e Isadora não podem ficar sentadas juntas (isto é, não podem ser vizinhas na roda). A pergunta é: de quantos modos distintos podemos arranjar as 6 crianças nessa roda, respeitando essa restrição?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • 6 crianças distintas no total.
  • Duas delas têm nomes especiais: Vera e Isadora (vou chamá‑las de V e I).
  • Devemos contar arranjos em roda (arranjos circulares) — ou seja, rotações que apenas giram toda a roda são consideradas o mesmo arranjo.
  • A condição a impor é: V e I não podem ficar juntas.

Passo 2

Vamos entender uma ferramenta básica que vamos usar: quantos arranjos circulares existem para n pessoas distintas, sem restrição? A fórmula padrão é
(n-1)!
porque em arranjos circulares consideramos rotações equivalentes. Explicando isso devagar: se eu fixo uma pessoa como referência (por exemplo, pego uma cadeira marcada ou pego uma pessoa e digo “ela fica aqui”), aí só preciso permutar as outras n-1 pessoas ao redor dela; o número de permutações das n-1 pessoas é (n-1)!. \n
O símbolo fatorial significa: para um inteiro positivo k,
k! = k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 2\cdot 1.
Exemplo bem simples para fixar a ideia: se n=3, o número de arranjos circulares é
(3-1)! = 2! = 2,
que corresponde às duas ordens relativas possíveis (girando a roda essas duas se transformam uma na outra, então só restam 2).

Passo 3

Contamos primeiro o total de arranjos sem qualquer restrição (apenas as 6 crianças em roda). Pelo raciocínio acima, esse total é
(6-1)! = 5!.
Agora calculamos 5!:
5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120.
Portanto existem 120 arranjos circulares de 6 crianças se não impusermos nenhuma restrição.

Passo 4

Agora vamos contar quantos arranjos têm o “defeito” que queremos excluir: aqueles em que V e I estão juntas. Para isso usamos a técnica de agrupar em bloco. Imagine juntar V e I como se fossem um único bloco (por enquanto sem decidir a ordem interna deles). Então, em vez de 6 objetos, temos esse bloco + as outras 4 crianças, totalizando 5 objetos a serem arranjados em roda. Pelo mesmo raciocínio de arranjo circular, o número de maneiras de arranjar esses 5 objetos em roda é
(5-1)! = 4!.
Mas dentro do bloco V\!I a ordem importa: pode ser V à direita de I ou I à direita de V. Há 2! maneiras de ordenar as duas pessoas dentro do bloco. Assim o número total de arranjos em que V e I ficam juntas é
2!\cdot 4!.
Vamos calcular:
4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24,
2! = 2,
portanto
2!\cdot 4! = 2\cdot 24 = 48.

Passo 5

Usamos a contagem complementar: o número de arranjos em que V e I não ficam juntas é igual ao total de arranjos menos os arranjos em que elas ficam juntas. Assim:
\text{válidos} = 5! - 2!\cdot 4! = 120 - 48 = 72.á
Interpretação rápida: de 120 maneiras sem restrição, em 48 delas V e I são vizinhas, então sobra 72 maneiras aceitáveis.

Resposta

72

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