De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 6 crianças, de modo que duas delas, Vera e Isadora, não fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado diz: temos
crianças formando uma roda de ciranda. Duas crianças são chamadas Vera e Isadora, e a restrição é que Vera e Isadora não podem ficar sentadas juntas (isto é, não podem ser vizinhas na roda). A pergunta é: de quantos modos distintos podemos arranjar as
crianças nessa roda, respeitando essa restrição?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há
crianças distintas no total. - Duas delas têm nomes especiais: Vera e Isadora (vou chamá‑las de
e ). - Devemos contar arranjos em roda (arranjos circulares) — ou seja, rotações que apenas giram toda a roda são consideradas o mesmo arranjo.
- A condição a impor é:
e não podem ficar juntas.
Passo 2
Vamos entender uma ferramenta básica que vamos usar: quantos arranjos circulares existem para
pessoas distintas, sem restrição? A fórmula padrão é
porque em arranjos circulares consideramos rotações equivalentes. Explicando isso devagar: se eu fixo uma pessoa como referência (por exemplo, pego uma cadeira marcada ou pego uma pessoa e digo “ela fica aqui”), aí só preciso permutar as outras
pessoas ao redor dela; o número de permutações das
pessoas é
. \n
O símbolo fatorial significa: para um inteiro positivo ,
O símbolo fatorial significa: para um inteiro positivo
Exemplo bem simples para fixar a ideia: se
, o número de arranjos circulares é
que corresponde às duas ordens relativas possíveis (girando a roda essas duas se transformam uma na outra, então só restam 2).
Passo 3
Contamos primeiro o total de arranjos sem qualquer restrição (apenas as
crianças em roda). Pelo raciocínio acima, esse total é
Agora calculamos
:
Portanto existem
arranjos circulares de
crianças se não impusermos nenhuma restrição.
Passo 4
Agora vamos contar quantos arranjos têm o “defeito” que queremos excluir: aqueles em que
e
estão juntas. Para isso usamos a técnica de agrupar em bloco. Imagine juntar
e
como se fossem um único bloco (por enquanto sem decidir a ordem interna deles). Então, em vez de
objetos, temos esse bloco + as outras
crianças, totalizando
objetos a serem arranjados em roda. Pelo mesmo raciocínio de arranjo circular, o número de maneiras de arranjar esses
objetos em roda é
Mas dentro do bloco
a ordem importa: pode ser
à direita de
ou
à direita de
. Há
maneiras de ordenar as duas pessoas dentro do bloco. Assim o número total de arranjos em que
e
ficam juntas é
Vamos calcular:
portanto
Passo 5
Usamos a contagem complementar: o número de arranjos em que
e
não ficam juntas é igual ao total de arranjos menos os arranjos em que elas ficam juntas. Assim:
Interpretação rápida: de
maneiras sem restrição, em
delas
e
são vizinhas, então sobra
maneiras aceitáveis.