, determine
valor de:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
As perguntas são:
- (a) determinar
. - (b) determinar
.
Dados relevantes: os
são os coeficientes do polinômio
. Não há mais informações a obter do enunciado.
Passo 2
Vamos calcular a soma de todos os coeficientes. Seja
. Observe que substituir
em
transforma cada termo
em
. Ou seja,
Explicando de forma bem direta: cada monômio
ao avaliar em
vira
; somando todos obtemos a soma dos coeficientes.
Passo 3
Agora calculamos
usando a forma dada de
:
Logo a resposta da letra (a) já está pronta:
Passo 4
Agora vamos para a soma dos coeficientes de termos de grau par. Separe
em parte par e ímpar:
onde
e
A ideia clássica é usar
e
. Avaliando em
temos
avaliando em
os termos pares permanecem iguais e os ímpares mudam de sinal, portanto
Somando as duas equações obtemos
ou seja
Note que
é exatamente a soma dos coeficientes dos termos de grau par:
Passo 5
Calcule
diretamente:
Já sabemos
. Substituindo na fórmula de
obtemos
Como checagem rápida: para
temos
, soma total
e soma dos pares
, e de fato
.