\operatorname{Se}\left(1+x+x^{2}\right) n^{=} A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots+A_{2 n} x^{2 n}, determine o valor de:
a) A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{2 n}
b) A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2 n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
(1+x+x^{2})^{n} = A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots+A_{2n}x^{2n}.
As perguntas são:
  • (a) determinar \;A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{2n}.
  • (b) determinar \;A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2n}.
Dados relevantes: os A_{k} são os coeficientes do polinômio (1+x+x^{2})^{n}. Não há mais informações a obter do enunciado.

Passo 2

Vamos calcular a soma de todos os coeficientes. Seja f(x)=(1+x+x^{2})^{n}. Observe que substituir x=1 em f(x) transforma cada termo A_{k}x^{k} em A_{k}. Ou seja,
f(1)=A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{2n}.
Explicando de forma bem direta: cada monômio A_{k}x^{k} ao avaliar em x=1 vira A_{k}; somando todos obtemos a soma dos coeficientes.

Passo 3

Agora calculamos f(1) usando a forma dada de f:
f(1)=(1+1+1)^{n}=3^{n}.
Logo a resposta da letra (a) já está pronta:
A_{0}+A_{1}+\cdots+A_{2n}=3^{n}.

Passo 4

Agora vamos para a soma dos coeficientes de termos de grau par. Separe f em parte par e ímpar:
f(x)=E(x)+O(x),
onde
E(x)=A_{0}+A_{2}x^{2}+A_{4}x^{4}+\cdots
e
O(x)=A_{1}x+A_{3}x^{3}+\cdots.
A ideia clássica é usar f(1) e f(-1). Avaliando em x=1 temos
f(1)=E(1)+O(1),
avaliando em x=-1 os termos pares permanecem iguais e os ímpares mudam de sinal, portanto
f(-1)=E(1)-O(1).
Somando as duas equações obtemos
f(1)+f(-1)=2E(1),
ou seja
E(1)=\frac{f(1)+f(-1)}{2}.
Note que E(1) é exatamente a soma dos coeficientes dos termos de grau par:
E(1)=A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2n}.

Passo 5

Calcule f(-1) diretamente:
f(-1)=(1+(-1)+(-1)^{2})^{n}=(1-1+1)^{n}=1^{n}=1.
Já sabemos f(1)=3^{n}. Substituindo na fórmula de E(1) obtemos
A_{0}+A_{2}+A_{4}+\cdots+A_{2n}=\frac{3^{n}+1}{2}.
Como checagem rápida: para n=1 temos 1+x+x^{2}, soma total 3 e soma dos pares 1+1=2, e de fato \frac{3^{1}+1}{2}=2.

Resposta

3^{n}
\dfrac{3^{n}+1}{2}

Exercícios relacionados