A partir de um conjunto de a atletas formam-se t times de k atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes. Determine:
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas fica junto.

Passo 1

Vou copiar e organizar o que o enunciado diz para ficar claro o que precisamos achar.
Temos a atletas no total. A partir desses atletas formam-se t times, cada time com k atletas. Cada atleta participa do mesmo número de times (esse número desconhecido vou chamar de r). Cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes (esse número desconhecido vou chamar de \lambda). O problema pede:
a) Determinar de quantos times cada atleta participa (ou seja, achar \;r\; em função de a,t,k).
b) Determinar em quantos times cada par de atletas fica junto (ou seja, achar \;\lambda\; em função de a,t,k).
Informações relevantes que temos: o total de atletas é \;a\;, o total de times é \;t\;, tamanho de cada time é \;k\;, todos os atletas têm o mesmo número de participações \;r\;, e todo par de atletas aparece junto exatamente \;\lambda\; vezes. Essas são todas as hipóteses que vamos usar.

Passo 2

A primeira ideia é um argumento de contagem dupla (contar a mesma quantidade de duas formas). Vou contar o total de “participações atleta–time” (cada vez que um atleta aparece num time conta 1).
Contagem 1 (somando por atletas): cada um dos a atletas participa de r times, então o total de participações é
a\cdot r.
Contagem 2 (somando por times): há t times, e cada time tem k atletas, logo o total de participações é
t\cdot k.
Como ambas contam exatamente a mesma coisa (o número total de lugares ocupados nos times), igualamos:
a\cdot r = t\cdot k.
Agora isolamos r. Dividindo ambos os lados por a obtemos
r = \frac{t\cdot k}{a}.
Interpretação: cada atleta participa de \;r=\dfrac{t k}{a}\; times. Note que, para a situação ser possível, esse valor precisa ser um número inteiro; isto é, a deve dividir t k. Mas a fórmula acima é o que a questão pede para (a).

Passo 3

Agora vamos achar \lambda (quantas vezes cada par de atletas fica junto). Novamente uso um argumento de contagem dupla, mas focado em pares envolvendo um atleta fixo.
Fixe um atleta X. Em cada time em que X participa, ele está com k-1 outros atletas (os seus companheiros desse time). Como X participa de r times, o número total de “aparições de pares formados por X e mais alguém” é
r\cdot (k-1).
Esse número conta, para o atleta X, quantas vezes no total ele aparece ao lado de algum outro atleta, somando sobre todos os times em que aparece.
Por outro lado, existem a-1 atletas distintos além de X. Cada um desses outros atletas aparece junto com X exatamente \lambda vezes (hipótese do enunciado). Portanto, contando essas mesmas aparições por parceiros distintos de X, obtemos
\lambda\cdot (a-1).
Igualando as duas contagens para o atleta X,
r\cdot (k-1) = \lambda\cdot (a-1).
Agora isolamos \lambda:
\lambda = \frac{r\cdot (k-1)}{a-1}.

Passo 4

Substituímos a expressão de r que já obtivemos no Passo 2 na fórmula de \lambda. Lembre-se que r = \dfrac{t k}{a}. Assim,
\lambda = \frac{\left(\dfrac{t k}{a}\right)\cdot (k-1)}{a-1}.
Simplificando a fração:
\lambda = \frac{t\cdot k\cdot (k-1)}{a\cdot (a-1)}.
Interpretação: cada par de atletas fica junto em \;\lambda=\dfrac{t k (k-1)}{a (a-1)}\; times. Novamente, para o esquema existir, esse valor precisa ser inteiro; isto é, a(a-1) deve dividir t k (k-1).

Passo 5

Recapitulemos as fórmulas obtidas e o porquê delas, de forma intuitiva:
  • A igualdade a r = t k vem de contar o total de “lugares” em todos os times de duas formas: somando por atletas (cada atleta contribui com r) ou somando por times (cada time contribui com k). Assim r=\dfrac{t k}{a}.
  • A igualdade r(k-1)=\lambda(a-1) vem de fixar um atleta e contar quantas vezes ele aparece com alguém: somando pelos times onde ele está (cada vez com k-1 colegas) ou somando pelos colegas distintos (cada um aparece \lambda vezes com ele). Assim \lambda=\dfrac{r(k-1)}{a-1}, que ao substituir r \lambda=\dfrac{t k (k-1)}{a(a-1)}.
Também é útil lembrar que essas fórmulas são as famosas relações de um projeto balanceado (um BIBD) quando tal configuração existe; o raciocínio é puramente combinatório (contagens duplas) e funciona sem assumir nada além do que o enunciado disse.

Passo 6

Um exemplo pequeno para ganhar intuição: escolha \;a=7, \;k=3, \;t=7. Pela fórmula,
r=\frac{t k}{a}=\frac{7\cdot 3}{7}=3,
ou seja, cada atleta aparece em 3 times. E
\lambda=\frac{t k (k-1)}{a(a-1)}=\frac{7\cdot 3\cdot 2}{7\cdot 6}=1,
ou seja, cada par aparece junto exatamente 1 vez. Essa é a conhecida configuração do plano de Fano (um exemplo concreto onde as fórmulas se realizam e tudo é inteiro).

Resposta

r=\dfrac{t\cdot k}{a}
\lambda=\dfrac{t\cdot k\cdot (k-1)}{a\cdot (a-1)}

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