A partir de um conjunto de a atletas formam-se
times de
atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes. Determine:
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas fica junto.
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas fica junto.
Passo 1
Vou copiar e organizar o que o enunciado diz para ficar claro o que precisamos achar.
Temos
atletas no total. A partir desses atletas formam-se
times, cada time com
atletas. Cada atleta participa do mesmo número de times (esse número desconhecido vou chamar de
). Cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes (esse número desconhecido vou chamar de
). O problema pede:
a) Determinar de quantos times cada atleta participa (ou seja, achar
em função de
).
b) Determinar em quantos times cada par de atletas fica junto (ou seja, achar em função de
).
b) Determinar em quantos times cada par de atletas fica junto (ou seja, achar
Informações relevantes que temos: o total de atletas é
, o total de times é
, tamanho de cada time é
, todos os atletas têm o mesmo número de participações
, e todo par de atletas aparece junto exatamente
vezes. Essas são todas as hipóteses que vamos usar.
Passo 2
A primeira ideia é um argumento de contagem dupla (contar a mesma quantidade de duas formas). Vou contar o total de “participações atleta–time” (cada vez que um atleta aparece num time conta 1).
Contagem 1 (somando por atletas): cada um dos
atletas participa de
times, então o total de participações é
Contagem 2 (somando por times): há
times, e cada time tem
atletas, logo o total de participações é
Como ambas contam exatamente a mesma coisa (o número total de lugares ocupados nos times), igualamos:
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Interpretação: cada atleta participa de
times. Note que, para a situação ser possível, esse valor precisa ser um número inteiro; isto é,
deve dividir
. Mas a fórmula acima é o que a questão pede para (a).
Passo 3
Agora vamos achar
(quantas vezes cada par de atletas fica junto). Novamente uso um argumento de contagem dupla, mas focado em pares envolvendo um atleta fixo.
Fixe um atleta
. Em cada time em que
participa, ele está com
outros atletas (os seus companheiros desse time). Como
participa de
times, o número total de “aparições de pares formados por
e mais alguém” é
Esse número conta, para o atleta
, quantas vezes no total ele aparece ao lado de algum outro atleta, somando sobre todos os times em que aparece.
Por outro lado, existem
atletas distintos além de
. Cada um desses outros atletas aparece junto com
exatamente
vezes (hipótese do enunciado). Portanto, contando essas mesmas aparições por parceiros distintos de
, obtemos
Igualando as duas contagens para o atleta
,
Agora isolamos
:
Passo 4
Substituímos a expressão de
que já obtivemos no Passo 2 na fórmula de
. Lembre-se que
. Assim,
Simplificando a fração:
Interpretação: cada par de atletas fica junto em
times. Novamente, para o esquema existir, esse valor precisa ser inteiro; isto é,
deve dividir
.
Passo 5
Recapitulemos as fórmulas obtidas e o porquê delas, de forma intuitiva:
-
A igualdade
vem de contar o total de “lugares” em todos os times de duas formas: somando por atletas (cada atleta contribui com ) ou somando por times (cada time contribui com ). Assim . -
A igualdade
vem de fixar um atleta e contar quantas vezes ele aparece com alguém: somando pelos times onde ele está (cada vez com colegas) ou somando pelos colegas distintos (cada um aparece vezes com ele). Assim , que ao substituir dá .
Também é útil lembrar que essas fórmulas são as famosas relações de um projeto balanceado (um BIBD) quando tal configuração existe; o raciocínio é puramente combinatório (contagens duplas) e funciona sem assumir nada além do que o enunciado disse.
Passo 6
Um exemplo pequeno para ganhar intuição: escolha
,
,
. Pela fórmula,
ou seja, cada atleta aparece em 3 times. E
ou seja, cada par aparece junto exatamente 1 vez. Essa é a conhecida configuração do plano de Fano (um exemplo concreto onde as fórmulas se realizam e tudo é inteiro).