(1,0) Determine o valor da soma \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}
que é um caso particular de séries de potências associadas à função exponencial.

Passo 2

Lembramos que a função exponencial e^x tem a expansão de Taylor em torno de 0 dada por
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\,.
Para x=1, isso vira exatamente
e^1 = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,.

Passo 3

Portanto, a série original converge para e^1, ou seja, para a constante de Euler e, cujo valor aproximado é 2,71828\dots.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = e.

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