(2,5) Determine os valores de x com os quais a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}} converge. Qual o valor da soma quando a série é convergente?

Passo 1

O enunciado pede os valores de x tais que a série
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}}
converge e, quando ela converge, qual é o valor da sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser escrito como
\displaystyle \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}} = \biggl(\frac{x-3}{2}\biggr)^{n}.
Em uma série geométrica \sum r^{n}, a condição de convergência é
\lvert r\rvert < 1.
Aqui r = \tfrac{x-3}{2}. Logo exigimos
\biggl\lvert \frac{x-3}{2}\biggr\rvert < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert x-3\rvert < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 < x < 5.

Passo 3

Quando 1<x<5, temos \lvert (x-3)/2\rvert<1 e vale a fórmula
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} = \frac{1}{1-r}.
Substituindo r = \tfrac{x-3}{2}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{x-3}{2}\biggr)^{n} = \frac{1}{1 - \frac{x-3}{2}} = \frac{2}{5 - x}.

Resposta

A série converge para x\in(1,5) e, nesse caso, sua soma é
\frac{2}{5 - x}.

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