(2,5) Determine os valores de x com os quais a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}} converge. Qual o valor da soma quando a série é convergente?
Passo 1
O enunciado pede os valores de x tais que a série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}}
converge e, quando ela converge, qual é o valor da sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Observe que o termo geral pode ser escrito como \displaystyle \frac{(x-3)^{n}}{2^{n}} = \biggl(\frac{x-3}{2}\biggr)^{n}.
Em uma série geométrica \sum r^{n}, a condição de convergência é