Determine o valor das somas:
sumi=1^n(2-5 i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma sumi=1^n(2-5i). Isso envolve soma de uma constante e soma de termos lineares (progressão aritmética) — vamos usar a propriedade de linearidade de somas e as fórmulas conhecidas para sum1 e sum i.

Passo 2

Por linearidade, podemos separar:
$$\sum_{i=1}{n}(2-5i)=\sum_{i=1}{n}2;-
;5\sum_{i=1}^{n}i.$$

Passo 3

Calcule cada parte:
  • Para a constante: sumi=1^n2=2+2+cdots+2 ( n vezes) então sumi=1^n2=2n
  • Para os inteiros: usamos a fórmula sumi=1^ni=n(n+1)2

Passo 4

Substituindo na expressão inicial:
sumi=1^n(2-5i)=2n-5cdotn(n+1)2

Passo 5

Basta agora simplificar:
2n-5cdotn(n+1)2 =4n-5n(n+1)2 =4n-5n^2-5n2 =-5n^2-n2 = -n(5n+1)2

Resposta

-\nonscriptstyle{\frac{n(5n+1)}{2}}

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