Determine o valor de k tal que \operatorname{Pr}(Z \leq k)=0,90.

Solução:

Lembre-se de que Z \sim N(0 ; 1).
Nos exemplos anteriores, tínhamos a abscissa e queríamos a probabilidade (área); neste exemplo, temos a probabilidade e queremos a abscissa. Esta é uma situação comum em problemas de tomada de decisão, conforme veremos em exemplos mais adiante.
Vamos “traduzir” essa probabilidade em termos da Tabela 2.1. O primeiro ponto a observar é o seguinte: \operatorname{Pr}(Z \leq k) indica a área à esquerda de k; como essa área à esquerda de k é maior que 0,5 , temos de ter k>0. Assim, podemos escrever
\begin{aligned} & \operatorname{Pr}(Z \leq k)=0,90 \Longleftrightarrow \\\ & \operatorname{Pr}(Z \leq 0)+\operatorname{Pr}(0<Z \leq k)=0,90 \Longleftrightarrow \\\ & 0,5+\operatorname{Pr}(0<Z \leq k)=0,90 \Longleftrightarrow \\\ & \operatorname{Pr}(0<Z \leq k)=0,40 \Longleftrightarrow \\\ & \operatorname{tab}(k)=0,40 \end{aligned}
Esta última igualdade nos diz que k é a abscissa correspondente ao valor 0,40 na Tabela 2.1. Para identificar k, temos que buscar no corpo da Tabela 2.1 o valor mais próximo de 0,40 . Na linha correspondente ao valor 1,2 encontramos as entradas 0,39973 e 0,40147 . Como a primeira está mais próxima de 0,40 , olhamos qual é a abscissa correspondente: a linha é 1,2 e a coluna é 8 , o que nos dá a abscissa de 1,28 , ou seja, k=1,28.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k tal que \operatorname{Pr}(Z \leq k)=0,90.
Informações dadas: a variável aleatória é Z com distribuição \,Z\sim N(0;1)\, (ou seja, normal padrão, média 0 e variância 1).
Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Entendendo o que significa \operatorname{Pr}(Z \leq k)=0,90: isso quer dizer que a área sob a curva da densidade da normal padrão, à esquerda de k, é 0{,}90. Como a normal padrão é simétrica e a área à esquerda de 0 é 0{,}50, concluímos que k>0 (porque 0{,}90>0{,}50).

Passo 3

Vamos escrever a probabilidade quebrando em duas partes (à esquerda de 0 e entre 0 e k):
\operatorname{Pr}(Z\le k)=\operatorname{Pr}(Z\le 0)+\operatorname{Pr}(0<Z\le k).
Sabendo que \operatorname{Pr}(Z\le 0)=0{,}50, temos
0{,}90=0{,}50+\operatorname{Pr}(0<Z\le k).
Assim,
\operatorname{Pr}(0<Z\le k)=0{,}40.

Passo 4

Explicação sobre a tabela padrão (Tábua da normal padrão) que usamos aqui: a tabela normalmente fornece o valor
\operatorname{tab}(z)=\operatorname{Pr}(0<Z\le z),
ou seja, a área entre 0 e z. A nossa equação ficou \operatorname{tab}(k)=0{,}40.
A tabela está organizada com a parte inteira e a primeira casa decimal nas linhas (por exemplo, 1{,}2) e a segunda casa decimal nas colunas (por exemplo, 0{,}08 para obter 1{,}28). Para cada combinação linha+coluna lemos o valor da área \operatorname{tab}(z).

Passo 5

Procuramos na tabela o valor mais próximo de 0{,}40. Nos valores da tabela encontramos, por exemplo:
\operatorname{tab}(1{,}28)=0{,}39973\quad\text{e}\quad \operatorname{tab}(1{,}29)=0{,}40147.
O valor 0{,}39973 (correspondente a z=1{,}28) é o mais próximo de 0{,}40. Portanto, usando a precisão da tabela com duas casas decimais, tomamos
k=1{,}28.
Observação rápida: se quisermos maior precisão (usando calculadora/inverso da normal), o valor exato é aproximadamente k\approx 1{,}2816, mas a tabela comum dá k=1{,}28.

Resposta

k=1{,}28

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