Se
, calcule
.
Solução:
Note que essa probabilidade corresponde à probabilidade de
estar a uma distância de dois desvios padrões da média.
Cálculo usando a Tabela 2.2:
Cálculo usando a Tabela 2.1:
Essa probabilidade nos diz que, para qualquer distribuição normal,
dos valores estão a dois desvios padrões da média (acima ou abaixo).
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que uma variável aleatória
esteja a até dois desvios-padrão da média. Dados fornecidos:
Pergunta: calcular
Passo 2
Idéia principal (sem ainda calcular): usar a padronização para transformar
numa variável normal padrão
. Definimos
Aqui
é a versão de
centrada na média e com escala igual a um desvio-padrão. Vou explicar por que
tem média
e variância
:
Portanto
, a chamada normal padrão.
Passo 3
Agora aplicamos a transformação ao intervalo pedido. Substituindo
(ou transformando os extremos),
Logo
Passo 4
Definimos a função distribuição da normal padrão:
Usando essa função, a probabilidade buscada é
Posso também usar a simetria da normal padrão em torno de zero, que diz que
Assim
Outra forma útil (muito usada em tabelas) é
pois
.
Passo 5
Agora usamos valores numéricos da tabela da normal padrão. Da tabela (valor da CDF):
Pela simetria,
Subtraindo:
Usando a forma alternativa com a tabela que dá a área entre
e
, muitas tabelas fornecem
. Então
o mesmo resultado.
Passo 6
Interpretação e dica para prova: o resultado significa que aproximadamente
dos valores de qualquer normal estão dentro de dois desvios-padrão da média. Memorizando as regras aproximadas fica mais rápido na prova: cerca de
em
,
em
e
em
(regra empírica 68–95–99,7). Vai te salvar tempo quando não der pra olhar a tabela detalhada.
Resposta
0,95450