Se X \sim N\left(\mu ; \sigma^{2}\right), calcule \operatorname{Pr}(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma).

Solução:

Note que essa probabilidade corresponde à probabilidade de X estar a uma distância de dois desvios padrões da média.
Cálculo usando a Tabela 2.2:
\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma) & =\operatorname{Pr}\left(\frac{\mu-2 \sigma-\mu}{\sigma} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mu+2 \sigma-\mu}{\sigma}\right) \\\ & =\operatorname{Pr}(-2 \leq Z \leq 2) \\\ & =\Phi(2,0)-\Phi(-2,0) \\\ & =0.97725-0.02275=0,95450 \end{aligned}
Cálculo usando a Tabela 2.1:
\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma) & =\operatorname{Pr}\left(\frac{\mu-2 \sigma-\mu}{\sigma} \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mu+2 \sigma-\mu}{\sigma}\right) \\\ & =\operatorname{Pr}(-2 \leq Z \leq 2) \\\ & =\operatorname{tab}(2,0)+\operatorname{tab}(2,0) \\\ & =2 \times 0.47725=0,95450 \end{aligned}
Essa probabilidade nos diz que, para qualquer distribuição normal, 95,45 \% dos valores estão a dois desvios padrões da média (acima ou abaixo).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que uma variável aleatória X esteja a até dois desvios-padrão da média. Dados fornecidos:
X \sim N\bigl(\mu;\sigma^{2}\bigr).
Pergunta: calcular
\Pr\bigl(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma\bigr).

Passo 2

Idéia principal (sem ainda calcular): usar a padronização para transformar X numa variável normal padrão Z. Definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a versão de X centrada na média e com escala igual a um desvio-padrão. Vou explicar por que Z tem média 0 e variância 1:
\text{E}[Z]=\text{E}\!\left[\frac{X-\mu}{\sigma}\right]=\frac{1}{\sigma}\bigl(\text{E}[X]-\mu\bigr)=\frac{1}{\sigma}(\mu-\mu)=0,
\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sigma^{2}}\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sigma^{2}}\sigma^{2}=1.
Portanto Z\sim N(0,1), a chamada normal padrão.

Passo 3

Agora aplicamos a transformação ao intervalo pedido. Substituindo X=\mu+\sigma Z (ou transformando os extremos),
\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}=-2,\qquad \frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}=2.
Logo
\Pr\bigl(\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma\bigr)=\Pr(-2\le Z\le 2).

Passo 4

Definimos a função distribuição da normal padrão:
\Phi(z)=\Pr(Z\le z).
Usando essa função, a probabilidade buscada é
\Pr(-2\le Z\le 2)=\Phi(2)-\Phi(-2).
Posso também usar a simetria da normal padrão em torno de zero, que diz que
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para }a>0.
Assim
\Phi(2)-\Phi(-2)=\Phi(2)-\bigl(1-\Phi(2)\bigr)=2\Phi(2)-1.
Outra forma útil (muito usada em tabelas) é
\Pr(-2\le Z\le 2)=2\bigl(\Phi(2)-0,5\bigr),
pois \Phi(0)=0,5.

Passo 5

Agora usamos valores numéricos da tabela da normal padrão. Da tabela (valor da CDF):
\Phi(2)=0,97725.
Pela simetria,
\Phi(-2)=0,02275.
Subtraindo:
\Phi(2)-\Phi(-2)=0,97725-0,02275=0,95450.
Usando a forma alternativa com a tabela que dá a área entre 0 e 2, muitas tabelas fornecem \operatorname{tab}(2)=\Phi(2)-0,5=0,47725. Então
2\times 0,47725=0,95450,
o mesmo resultado.

Passo 6

Interpretação e dica para prova: o resultado significa que aproximadamente 95{,}45\% dos valores de qualquer normal estão dentro de dois desvios-padrão da média. Memorizando as regras aproximadas fica mais rápido na prova: cerca de 68{,}27\% em \pm1\sigma, 95{,}45\% em \pm2\sigma e 99{,}73\% em \pm3\sigma (regra empírica 68–95–99,7). Vai te salvar tempo quando não der pra olhar a tabela detalhada.

Resposta

0,95450

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